梯形面積公式的四種推導方法

2021-02-20 魔法數學

方法1、將兩個完全一樣的梯形拼成一個平行四邊形。（如圖）

拼成之後的平行四邊形的底等於梯形的上底和下底的和（a+b），平行四邊形的高等於三角形的高h，而平行四邊形的面積等於三角形面積的兩倍。

因為平行四邊形的面積=底×高

                   =（梯形的上底+下底）×梯形的高

所以梯形的面積=（梯形的上底+下底）×梯形的高÷2

      用字母表示：

                     S=（a+b）h÷2

方法2、連接AC或BD，梯形被分成了兩個三角形。（如圖）

三角形ABC的底為梯形的上底a，高就是梯形的高h；三角形ADC的底為梯形的下底b，高同樣是梯形的高h。

梯形的面積=三角形ABC的面積+三角形ADC的面積

        即： S=ah÷2＋bh÷2

              =（ah+bh）÷2

=(a+b)h÷2

方法3、如圖，連接A點和腰BC的中點並延長，交DC的延長線於F點。

由圖可知，陰影部分是完全相同的兩個三角形，將上面的陰影部分移到下面，梯形變成了一個大三角形ADF。

梯形的面積就等於大三角形ADF的面積。而大三角形的底為梯形的上底與下底的和（a+b），大三角形的高就是梯形的高h。

直接利用三角形的面積公式即可得出：

         S=(a+b)h÷2

方法4、將梯形對摺，使得上下兩條底互相重合，再將左右兩邊的兩個小三角形對摺，使梯形變成一個小的長方形。（如圖）

觀察發現，這個長方形的面積等於梯形面積的一半。長方形的長等於梯形的上底與下底和的一半（a+b)÷2，長方形的寬等於梯形的高的一半（h÷2）。

梯形的面積=長方形的面積×2

          =長×寬×2

        S=（a+b)÷2×h÷2×2

         =（a+b)÷2×h

         =(a+b)h÷2

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