極值偏移定理的加強變形問題 例 1：若函數 x x x f ln- ) ( ，存在正數的 2 1 x x， 使得 ) ( ) ( 2 1 x f x f ，證明： 0 ) ( ) ( 2 ， 1 ， x f x f . 分析： ，1 1 ) (' x x f 要證 0 ) ( ) ( 2 ， 1 ， x f x f ，只需證： 2 1 1 2 1 x x 即可。 又 ) ( ) ( 2 1 x f x f ， 2 2 1 1 ln ln x x x x ， 即 2 2 1 1 1 ln 1 ln x x x x ，令 ， 1, 1 2 2 1 1 t x t x 要證的 2 1 1 2 1 x x 轉化為證明 2 2 1 t t 即可， 前提是 2 2 1 1 1 ln 1 ln x x x x 恆成立， 即 2 2 1 1 ln 1 ln 1 t t t t 成立的前提下， 要證明 2 2 1 t t 成立，所以原題轉化為： 若 t t t f ln 1 )( ，存在兩個正數 2 1 t t、 使得 ) ( ) ( 2 1 t f t f ， 證明： 2 2 1 t t ， 那麼就可以用極值偏移定理的解題方法來處理本題。證明： ) ( ) ( 2 1 x f x f ， 2 2 1 1 ln ln x x x x ， 即 2 2 1 1 1 ln 1 ln x x x x ， 令 , 1, 1 2 2 1 1 t x t x 2 2 1 1 ln 1 ln 1 t t t t ， 即令 ） （ 0 ln 1 )( t t t t f ，則有 ) ( ) ( 2 1 t f t f 。
又因為 2 2 1 1 1- )( tt t t t f 『 ， 所以 )(t f 在 )1,0(t 單調遞減，在 ) ，1( t 單調遞增， 且函數 )(t f 的極小值即函數的最小值為 1 )1( f ， 所以函數 )(t f 的大致圖像為： 所以由圖像可得 2 1 1 0 t t ， 令 ) 2( )( )( t f t f t g ，則 ) 2( )( )( t f t f t g 』 』 』 ，所以 2 2 2 2 2 ) 2( 1 4- 2( 1 ) 2( 1 )( t t t tt tt t g ） （ ） 』 ， 所以函數 )(t g 在在 )1,0(t 單調遞減， 所以當 )1,0(t 時， 0 )1( )1( )1( )( f f g t g ， 即當 )1,0(t ) 2( )( t f t f ，又因為 1 0 1 t ， 所以 ) 2( ) ( 1 1 t f t f ，且 ) ( ) ( 2 1 t f t f ， 所以 ) 2( ) ( 1 2 t f t f ， 2 1 1 0 t t ， 1 2,1 1 2 t t ， 且 )(t f 在 ) ，1( t 單調遞增， ) 2( ) ( 1 2 t f t f ， 所以 1 2 2 t t ，即 2 2 1 t t ， 即 2 1 1 2 1 x x ， 0 )1-1( )1-1( 2 1 x x ， 即 ，0 ) ( ) ( 2 ' 1 ' x f x f 即證。