在數學上，指數增長是指數量隨某一變量增加時的一種特定方式。當數量相對於變量的瞬時變化率 （即導數 ）與數量本身成正比時，就會發生這種情況。這種增長被描述為一個函數，隨變量指數增長的量是變量的指數函數。
指數增長隨變量增加而增長的速率一般都遠超過線性增長或冪增長。如上圖所示，指數增長（綠色）如何超過線性增長（紅色）和冪增長（藍色）。但在開初階段，其數值遠低於線性增長和冪增長，所以指數增長的數值在開初階段往往很容易被人忽視或低估，我們從下面幾個方面來說明了這一點。
大米與棋盤問題：國王獎賞不起的大米
我們許多人聽到過這樣的一個關於數學指數增長的故事。古希臘著名的數學家、思想家阿基米德與國王下棋。國王輸了，問阿基米德要什麼獎賞？阿基米德說：「我只要在棋盤上的第一格放一粒米，第二格放二粒，第三格放四粒，第四格放八粒……。按此方法放到這棋盤的第64個格子就行了。」
國王一聽，這個按大米顆粒數給獎賞的要求也太低了，估計最多也就不過是幾百擔米，隨即答應了。結果國王又輸了。這一次可輸大了，原來國王賞不起這麼多的大米。看完這個視頻你就知道了。
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這個問題可以通過簡單的加法來解決。如果連續兩個方格上的大米數加倍，則所有64個方格上的顆粒總數為：1 + 2 + 4 + 8 + …… +2^63，由此大米顆粒總數為：18,446,744,073,709,551,615，約為18.447億噸大米，這大約是當今全球大米產量的1645倍（2019年為7.08億噸）！國王如何賞得起？即使吧全部家當賠上也賞不起。
一分錢與一百萬
這是一個關於數學指數增長的著名的數學選擇題。有兩種選擇：第一種選擇是給你100萬；第二種選擇是第一天給你1分錢，第二天給2分，第三天給4分，第四天給8分，…… 按此方法給一個月（30天）。測試的結果是：絕大多數人選擇了第一種，選擇100萬。實際上第二種選擇在第30天將獲得536,870,912分錢，即536萬8千7百09元1毛2分錢，遠遠地超過了一百萬！
睡蓮問題
睡蓮是多年生浮葉型水生草本植物。這也是一個關於數學指數增長的著名的數學題。問題是這樣的：在一個池塘裡，長有一片睡蓮。設每個月睡蓮的葉片都會長大一倍。如果葉片需要48個月才能覆蓋整個池塘，那麼需要多長時間才能覆蓋半個池塘呢？大多數認為，既然葉片需要48個月才能覆蓋整個池塘，那麼顯然需要24個月才能覆蓋半個池塘。所以答案是24。
但是，如果睡蓮葉片的大小每個月增加一倍，則在任何給定的一個月，睡蓮葉片的大小是前一個月的一半。因此，如果睡蓮葉片在第48個月達到池塘的整個大小，則意味著睡蓮葉片的大小是前一個月的一半，即第47個月。答案是47！
指數增長範例
指數增長在實際中具有許多應用，下面僅舉一些典型的範例。
1. 生物學
培養物中的微生物數量成倍增加，直到基本營養耗盡為止。通常，第一個生物分裂為兩個子生物，然後分裂為四個，然後為八個，等等。如下圖顯微鏡下所觀察的細菌指數增長繁殖。
如果沒有防止與免疫方法，則許多病毒，例如天花、SARS、冠狀病毒等，通常會首先呈指數級地傳播。每個感染者可以感染多個人。如下圖所示最近義大利的新型冠狀病毒呈指數增長型感染。
2. 物理
電介質材料內的雪崩擊穿。 自由電子被外部施加的電場充分加速，從而在與電介質的原子或分子碰撞時釋放出額外的電子。這些二次電子也被加速，產生了大量的自由電子。電子和離子的指數增長可能會迅速導致材料完全介電擊穿 。
核反應堆和核武器背後的核鏈反應。每個經歷裂變的鈾核都會產生多個中子，每個中子都可以被相鄰的鈾原子吸收，從而使它們依次裂變。 如果中子吸收的可能性超過中子逸出的可能性，因此在不受控制的反應中，中子和誘發的鈾裂變的生產率成指數級增長。
3. 經濟學
經濟增長用百分比表示，意味著指數增長。財務的固定利率的複利提供資本的指數增長。
金字塔計劃、龐氏騙局、非法傳銷等也顯示出這種類型的增長，從而為少數初始投資者帶來高額利潤，但使大量投資者蒙受損失。
4. 計算機科學
計算機的性能是以著名的摩爾定律指數增長。信息量隨著科技的發展呈指數級增長。不久的量子計算機的量子比特數計算速度以指數級增長。
棋盤後半部策略
著名發明家、未來學家、人工智慧專家、谷歌工程總監、瑞·庫茨維爾（R. Kurzweil），基於上述棋盤的指數級增長原理，提出「棋盤後半部」的技術策略。該策略指的是指數增長的因素對一個組織的整體業務戰略，在前後兩盤棋所產生的不同的經濟影響。下圖所示為庫茨維爾「棋盤後半部」技術策略原理圖。
雖然棋盤前半部分的數量很大，但棋盤後半部分的數量卻更大得多。棋盤前半部分的數量為：1 + 2 + 4 + 8 + …… + 2,147,483,648 ，總計4,294,967,295（即2^32 1）粒。
棋盤後半部分的數量為：2^32 + 2^33 + 2^34 + …… + 2^63，總計 2^64 2^32。僅後半部分的第一個格子所擁有的數量，即比整個前半部分所擁有的數量更大。單是棋盤的第64個格子上的數量為：2^63 = 9,223,372,036,854,775,808粒，是棋盤前半部分總和的二十億倍。
庫茨維爾提出了如上圖所示的摩爾定理的擴展式，即庫茨維爾定理（Kurzweil's Law of Accelerated Return）。該定理指出，人類出現以來所有技術發展都是以指數增長。一開始技術發展較小，但一旦信息和經驗積累到一定基礎，發展以指數快速增長。
他將同樣的概念引入到生物進化和宇宙誕生以來的變化裡，導出同樣的指數增長的公式。根據數學模型，在未來的某個年代，技術發展將接近於無限大。他在500多頁的巨著《奇點臨近》（Singularity is Near）中系統論證這一數學模型，包括基因工程的發展、納米技術的展望和通用人工智慧的可能性等。
他提出的「科技奇點」理論，出自奇點理論。根據技術發展史總結出的指數增長觀點，認為人類將會接近一個事件點，在這個事件點以後的事件就像黑洞的事件視界一樣無法按現有認知預測。所以，他提出：
我們的未來不是再經歷進化，而是要經歷爆炸。——瑞·庫茨維爾
借用一句歌詞，不是我不明白，是這世界變化太快——指數般地變化增載。未來，無論是好是壞，往往來得比我們想像的還要更快。