如何合理的衡量自然增長呢？或許從文章中你可以得到一些答案。
雖然依文主脾氣，是喜歡按照純邏輯順序敘述這件事，但是因為是近期獨立思考產生的全新理論，沒有任何參考對象，所以本文目的是為了與更多人討論這種理論的可行性，因此姑且提出幾個問題，讓觀眾產生點疑惑，以便有少數觀眾願意讀完與我探討：
只要我投入越多的資金，我就可以帶來越多的用戶？我每多投入一筆差不多金額的資金，我都可以帶來一批差不多數量的用戶？投入資金和用戶增長之間是不是有一個最合理值？大家廣傳的「指數型增長」真的是做到了指數型嗎？指數型增長又代表產品處在什麼狀態？非指數型增長產品的危機是什麼？
到這裡，不感興趣的人都應該已經離開，我就與選擇留下的人來討論下增長的問題。
概念的個人主觀解釋：
本篇，文主將增長拆解為三個部分：
用戶自發自然增長：沒有投入任何資源的情況下，依靠用戶自發傳播產生的增長。
投入資源促使用戶自然增長：投入一些資源，但是資源並不用於直接讓用戶增長，而是投入資源接觸到用戶，對用戶介紹產品某一部分後引起用戶興趣，用戶自發進入；能夠用利益吸引用戶進入，並且不會直接離開產品的增長方式也歸在此類。
暴力推廣帶來直接增長：直接給用戶真實收入或利益，收入與利益的條件是下載/註冊產品，不關心用戶是否會在很短時間內立即離開產品。
本文中，我將前兩類統一歸為自然增長。
為什麼我突然想到了這個問題？
在談自然增長這個話提前，我想先和大家聊聊我觀察到的兩個現象，它們促使我開始思考這個問題：
1.增長指標
在很多公司中，我發現這樣一個現象：尤其是To C的產品，當大家制定一個階段的增長目標時，似乎有一條公式是永恆成立的：
指標=經驗+拍腦袋
很多人是憑著自己多年了解行業的經驗臨時一拍腦袋定一個指標，如你所見，它們基本都是1000，10000，100000…的整數倍，這使我思考，對一個自然增長的產品，難道沒有一個簡單易用的方式來預測下一階段我們的用戶會達到多少嗎？
2.「資源量=增長速度」這個等式對嗎？
當然，所有人都會覺得上述等式是愚蠢的，所以，增長的極限在哪裡？
為了搞清楚問題，我假設了一個最簡單的情景
（概念：裂變指的是當用戶是自然增長狀態下時，一位用戶能帶來數位新用戶，這時我認為最開始的那位用戶產生了裂變；這種增長稱之為裂變式增長，你可以用細胞分裂來比喻它）
如果我們完整地從個體層面闡述用戶增長這件事，它會是這樣：
在XXX時間內，有X%的用戶能夠產生裂變，這些用戶每人邀請X位新用戶： 這些用戶中有X位是自然傳播帶來的；有X位是投入XX資源帶來的。
我們可以從中提取四個重要的獨立參變量：
幾%的用戶？一段時間？裂變多少個？投入多少資源？
但是如果我同時考慮這麼多變量，我需要多元函數解決，而且我相信你不會相信那個電腦擬合的答案。所以，我假設一種最簡單的情形：
若現在有一個發展中的邀請制社區產品，用戶必須有邀請碼才能註冊，每個人每個月也只能發出一個邀請碼；按照現在的用戶增速，每一個月用戶數量就會翻一倍（即進入的所有用戶每個人邀請了一個人）；
那麼，一個月後這個社區的用戶體量極限會為現在的e（自然常數，≈2.71828…）倍；（這種情況是假設，每一個進入的新用戶一進入在無限小的一個時間後立刻開始邀請下一個用戶，你可以假設是1ns）
以上結論是由一個很簡單的式子得到的：
我們帶入情景可以得到：
以下部分為推導：（知道這個結論如何而來的數學基礎良好的你可以直接跳過）：假定有一種單細胞生物，它每過24小時分裂一次。那麼很顯然，這種生物的數量，每天都會翻一倍。今天是1個，明天就是2個，後天就是4個。我們可以寫出一個增長數量的公式：上式中的x就表示天數。這種生物在x天的總數，就是2的x次方。這個式子可以被改成下面這樣：其中，1表示原有數量，100%表示單位時間內的增長率。我們繼續假定：每過12個小時，也就是分裂進行到一半的時候，新產生的那半個細胞已經可以再次分裂了。因此，一天24個小時可以分成兩個階段，每一個階段都在前一個階段的基礎上增長50%。當這一天結束的時候，我們一共得到了2.25個細胞。其中，1個是原有的，1個是新生的，另外的0.25個是新生細胞分裂到一半的。如果我們繼續修改假設，這種細胞每過8小時就具備獨立分裂的能力，也就是將1天分成3個階段。那麼，最後我們就可以得到大約2.37個細胞。很自然地，如果我們進一步設想，這種分裂是連續不斷進行的，新生細胞每分每秒都具備繼續分裂的能力，那麼一天最多可以得到多少個細胞呢？當n趨向無限時，這個式子的極值等於2.718281828…。因此，當增長率為100%保持不變時，我們在單位時間內最多只能得到2.71828個細胞。數學家把這個數就稱為e，它的含義是單位時間內，持續的翻倍增長所能達到的極限值。這個值是自然增長的極限，因此以e為底的對數，就叫做自然對數。
so，我已經得到一個最簡單情況的增長，我進一步對它作推廣：（以下均為極限情況下，即最快/最多可以是多少，實際是很難達到的）
如果我的基數是100個用戶，那麼我一個月後會有100e個用戶
如果用戶不是只能邀請一個人，一個人可以邀請2個人（甚至沒有限制，由數據觀測近期平均一個人邀請5個）；或者不是全部的用戶都邀請了新用戶，由近期數據觀測，平均15%的用戶邀請了新用戶。
定義：rate= 「幾%的用戶」 * 「每個用戶邀請幾個人」
極限為：
如果是求兩個月後的增長呢：
在時間t的情況下，通用公式就是：
同理，我們可以推算得到增長到一定規模需要的時間：
比如5%的用戶發出了邀請，一個用戶邀請一個人，100個用戶變成200的最快時間為
計算結果是13.86月：（所以別為了穩定增長，怕破壞用戶增長，就不去加速自然增長，當然暴力增長一直都是不提倡的）
以上，我們已經討論了所有的極限情況，並得到極限情況下的增長函數：
用戶一段時間後的規模預測為：（m為現在的用戶規模，rate=「時間t」*「參與邀請的用戶佔比%」*「每個用戶邀請的數量」）
該極限式不僅適用於用戶增長的極限，同樣適用於預測經濟規模、銷售額增長、產品銷量等在相對穩定環境下增長的指標。實際上該值不像我們數學上常用的那樣增速飛快（即指數級增長），往往實際場景中，增長是該極限的前端一部分：
它有什麼意義呢？
我們可以看到，這個極限式實際上在上升到巨大規模前，它的曲線並沒有那麼陡峭，也就是說，即使投入再大的資源，我能達到的極限也就是這個曲線，因此所有制定超過這個極限曲線上數據點的增長指標想要依靠自然增長（裂變式增長）實現都是不可能的。
另：在實際商業案例中，最初的用戶往往不會是我們從1開始，讓他自然增長，我們會準確投放到一群我們認為的目標客戶聚集的地方，即這時其實不符合這個曲線，因此我們的經典產品曲線是這樣的：
就好比一條小米新功能的推送，我們朋友圈轉發和到小米論壇發送一樣，到小米論壇發送是不符合自然增長的，但是當功能開始走出小米論壇，它就開始傳播，因此我們實際的曲線往往是從這裡開始的：
極限有了，怎麼才能預測我的產品下個階段的指標數據呢？
我們沿著極限式的最終結論式繼續推導下去：
當計量單位不是月的時候，該式同樣可以應用，e倍速增長是以一個計量單位為一個單位時間的，比如一年，一天，一秒均可以；只需要定義，一個階段是多少，比如我們可以定義「1秒=1」，也可以定義「一年=1」，也可以定義「一年=365」，x隨著這個階段時間定義而變化，「30/x」、「365/x」還是「1/x」，都可以自行定義。我們做去極限的處理，即可以得到，下一階段的用戶數量為這個階段的：（x代表用戶進入x天后才開始裂變）
如果總體所有用戶進入後，用戶不是以100%增長的（不是一個用戶拉取一個人），x天后增速為a%（即前文的rate），想知道30天後用戶體量變為這個階段的：
如果不是30天，將上一條的時間推廣結論也納入進來，那麼下一屆階段，用戶數量為：
SO，我們有了一個極限值——關於e的指數函數（決定增長上限），我們有了一個正常範圍內計算公式（預測下一階段會達到的數量），我們可以做到什麼：
1.較準確的預測某一指標（商業體量，用戶數等）的增長數，打破原有（「指標=經驗之談+拍腦袋」的不合理預測方式）。
2.增長極限為指數型增長，因此即使投入再多資源也只是能讓「1→e」這個過程，甚至於很多產品本身可以達到「指數型」增長。因此並不是投入更多就一定可以讓增長更快，它存在一個極限。
3.指數型增長底數為e是極限，但是一般公司都會投入資源給推廣和市場部門，因此流量必然不是所有的都是自然增長，還存在因為人為推廣而促進用戶了解願意投入增長和通過推廣強行讓用戶指標短時間增長的情況；我們可以通過一段時間內增長曲線觀察到的增長來判斷，目前的投入是否是合理的，用戶是否真的是對產品認可，還是僅因為市場投入才進入，即如果增長不能符合常規增長數量預測值（每一個階段都偏低的話），我們可以說，這個產品是沒有用戶認可度的，雖然現在仍在增長，如果繼續下去，產品必將衰落崩潰（在「創新擴散曲線」等理論決定的16%人群之前，在其他條件限制極限的條件之前，階段性成立，這個實例中會解釋）。
我們來用這兩個模型分析下具體案例。
增長案例分析
完美的裂變式增長案例——slack
Slack是一款雲端團隊協作軟體，它甚至沒有市場團隊，只依靠口碑營銷和品牌影響獲取用戶（近期slack才組建市場團隊，為什麼需要這麼做？理由分析之後會解釋），也就是說是純粹的自然增長。
上圖是slack的用戶數變化的曲線，我們嘗試從曲線上取下一段數據點，然後自己分析下：
因為圖線是基本符合e指數型增長的，也即slack的用戶是在以近乎極限的增長速度在增長，因此我們只好用極限狀態式來分析它的增長：
對比我們可以得到以下信息：
1.slack的增長率為46.74%，即「裂變用戶百分比」*「每個人裂變用戶數」=46.74%，因此我們可以很容易的得到接下來一段時間slack的用戶數會是多少，比如我們可以計算，2015年2月（即自變量為10）的時候，用戶數會為532k，從圖上看，slack2015年2月用戶數約為520k，誤差率在2%，對於預測來說，這個誤差完全可以接收。
2.slack為什麼是近乎指數增長的？
因為在上圖分析中，我們選取的n參考維度（橫坐標，也是之前所說的定義的「一個階段」）是月，每個slack用戶進入後準備邀請下一個用戶進入，這個時間段x相對於一個月來說，是很小的一段時間，因此最終slack在這個維度下是以近乎指數型在增長。
3.slack在以近似極限增長速度增長，這件事代表什麼呢？
（2）slack產品足夠好，用戶認可並願意自發推廣（反之，若不為指數型增長，實際上你的產品可能在很多用戶眼中是不認可的，可能如果策略不變，你的產品危機就要來了，只是它還沒開始發生，就像08年美國的房地產證券）。
這一點上需要說明下，很多媒體口傳的指數型增長，往往是投入很多資金人為驅動的結果（甚至是暴力推廣的結果，這種情況你超過指數型我都信），因為增長的極限是指數函數嘛，這類實際上如果在每個用戶上投入的資金減少，它就不再以指數增長，並不是像slack這類無任何投入純依靠產品力量驅動的增長，它可以一直保持指數型。
當然實際產品中，在每個用戶上穩定投入，誘導用戶對產品產生信賴，然後進行自然增長（即我最開始定義的自然增長的第二類）也是很好的加速增長的方法，並且可持續。
（3）如果我們想要提高用戶增長速度，我們投入資金實際上是在提高用戶裂變率和裂變量，即推動更多老用戶推薦，推動老用戶推動更多的人；因為已經達到極限增長曲線，諸如拓展新用戶等舉措實際上並不能讓增長速度更快，只是在提高增長基數而已（可能反而因為營銷反感，營銷對象不符合目標用戶畫像等原因，增速會變慢）。
4.如果我已經是指數型增長了，我想要投入資源加速這個自然增長（依然是自然增長，不是暴力推廣），最終實現如下圖的變化，我怎麼評估我的投入產出比呢？是否存在一個最合理的投入呢？這個問題我們放到第二階段討論，因為這部分文主也還在摸索，希望你能與我一起探討。
5.指數級增長會持續不斷下去嗎？
當然不是，從slack數據可看到，該表僅給出slack到50w用戶規模的曲線，它沒有出現其他趨勢僅僅是因為當前增長還未達到出現變化的時間點，so，大眾產品的曲線拐點在哪？
產品增長的拐點——姑且以網易雲音樂舉例
這部分我想闡述下，對一般的增長明星產品來說，這些明星產品未來的趨勢會是什麼樣子的。（因為資料所限，僅能以網易雲音樂為例，如果你有合適的數據希望與我探討，那再好不過了）
一般從我們看到的新聞稿裡，我們總結的網易雲音樂的增長是這樣的：
看起來就是一個像指數型增長的產品對麼，但是實際上產品不會是如上趨勢的增長，根據網易自己發布的《網易雲音樂2016上半年用戶行為大數據》，網易雲音樂的用戶數量趨勢是這樣的：
雖然沒有求證過這個趨勢的真實性，我們姑且認為這個趨勢是正確的並在這個基礎上分析，為什麼網易雲不是一路指數型增長到2億，而是在5500萬用戶產生了拐點，為什麼又在1億後恢復了增長趨勢。（以下我僅分析對任何行業都通用的分析方式，對這個拐點產生作用的不同行業的不同特殊因素，我相信們讀者們更加了解）
傳播學教授埃弗雷德·羅傑斯在對超過508項擴散研究進行綜合研究之後，在他的著作《Duffision of Innovation》中提出了著名的「創新擴散曲線」理論。羅傑斯用這個理論描述了個人和組織採用創新的過程。你可能在很多著名的演講中都曾在各種名人口中聽過這個理論，但是我姑且還是把它再展示給你：
藍色的線表示：在整個人群中，有2.5%的人被稱為創新者，他們是蘋果店一推出新機就去專賣店門口排隊一天一夜也要購買的人（當然現在他們不用這麼做了）；13.5%的人被稱為早期採納者，他們可能是看到朋友圈第一類人曬的iphone新機，聽說不錯，然後也去購買；接下來68%的人是因為前兩類的慢慢影響和市場變化，從眾進入的人；最後的16%是落後者，他們是在觸屏機廣泛普及的時代依舊堅持用按鍵機的人。（如果你從事的是與銷售強相關的行業，那麼也可以關注下這裡的黃線，它是市場份額的曲線，本文就不做過多敘述）
我們用這個理論來看看音樂這個行業，根據國家統計局2010年人口普查的數據，16-44歲的人口數量在5.48億（當然你可以覺得現在這個數據已經變化了，這僅僅是一個舉例的估算，實際行業裡，我們都會清楚自己的目標用戶規模到底有多大）。
我假定5.48億這個數量是最終要達到的用戶規模；根據城鄉人口普查，城鎮人口佔57.35%，我認為對一個新的音樂播放器產品，城鎮人口是首先接收的（假設這就是所謂的行業影響因素），我得到，城鎮人口約3.14億用城鎮人口乘2.5%，得到785萬，這就是這個播放器要走向大眾產品，需要達到的基礎用戶量；乘16%（2.5%+13.5%），得到5000萬，這就是創新者和早期採納者的總數，即對應網易雲音樂圖上產生拐點的地方，因為這時產品已經要進入一個放緩增長的過渡期，從吸引「喜歡新產品」的人過渡到吸引「從眾者」。
（4）那1億到2億的增長是怎麼出現的呢，我假設那一段也是如圖所示的指數型；其實這對應主要是自然增長的第二部分，每個用戶平均投入一定金額，促進用戶自然增長，可以看到這個時期網易雲有很多舉動，而結果就是在穩定的促增長策略下，用戶度過了過渡期之後，從眾者也因為引導而產生了自然增長。
但是，如果我們更切合實際一些，產品生命周期裡，每一個小階段，我們都必然產生一些大動作，比如影響目標用戶群數量的功能上線，知名媒體曝光，產品成功營銷等動作，我們有沒有辦法在這種情況下預測用戶數量呢？
階段性的指數增長——以滴滴為例
如果我們只是一般的產品，不能純粹依靠第一類自然增長，而且變化速度極快，會有很多大動作影響到用戶增長甚至目標用戶群數量，這時對整個生命周期用一個函數預測指標往往是不準確的，以下以滴滴打車舉例：（這其實是滴滴下載量的數據，不是用戶量，所以並不準確，但是拿來和你講清楚問題卻足夠了）
同理，我們對滴滴拿出一段數據做分析，因為觀察增長趨勢大致符合指數增長極限，所以我依舊用極限式嘗試貼近滴滴打車的數據：
虛線是嘗試貼合的函數，可以發現這個誤差非常大，甚至趨勢都不同，我重新觀察了原數據圖，發現我取的數據段，滴滴都發生了大的版本迭代，沒有發生版本迭代的變化節點，查詢了下，結果是滴滴2014年12月7日宣布了7億美元的新融資。所以我先做了一個嘗試，我把變化節點之間的數據分別貼合了下：
這時我們發現一件事，在一件大事發生之後，另一件大事發生之前的一段時間裡，用戶仍然是呈穩定的指數極限增長的，只是每到一個大事發生的節點，這個增長趨勢會被另一個新的指數極限增長趨勢代替。
也就是說，在實際情況中，如果環境發生了改變，在下一次改變之前，我們認為增長是穩定的（對健康的受到用戶認可的產品來說），在這個範圍內仍然可以用之前的一個極限式和一個正常增長式來預測。
這個理論什麼情況下會失效？
一切即將崩潰（用戶不認可，增長不是裂變式，而是依靠市場和推廣投入推動），或者正在崩潰（每階段用戶都是淨流失）的產品該理論都會失效。當然，從增長趨勢上我們可以做出判斷，是否產品雖然正在增長，但是繼續下去會出現崩潰，在之前的實例探討中已經說明，因此不再贅述。
投入產出比的最合理值
我們知道，如果我們穩定投入資源，可以通過促使自然增長達到增長極限；如果我們繼續投入資源，我們可以控制其他三個參變量，即縮短一個階段的時間、提高發生裂變的用戶的比率或者提高每個用戶能夠裂變的用戶數。（如下式，反映在n和a%會增大）
So，因為指數函數和指數函數之間，通過改變指數引起的變化不是線性的，因此數學意義上是存在最合理的投入產出比的，接下來我將與你討論下這個沒有完成的部分。
數學意義上的極限在哪
再來看一下最初的增長的分類：
這裡我將第一類自發自然增長的用戶總數假定為A，第一類和第二類促進自然增長的用戶總和假定為B，假設我們沒有暴力推廣帶來的增長用戶（文主也強烈不推薦引入此類用戶）。這時，我認為」B-A」即是由投入帶來的用戶增長部分，我將所有的資源投入換算為資金，為C。
投入產出比=C/（B-A）
所以我們帶入B和A，可以得到如下結果：
顯然這個值太大了，世界上沒有任何一個經濟體能夠達到C/(e-1)這個投入規模，因此這個數學上的極限其實是不可用的。
從實際出發呢？
雖然以上推論是錯誤的，但是思路卻沒錯。同時我發現，我可以用我現有的「用戶規模（x）」*「平均每個用戶投入資金（c）」來代替投入，但是用戶增長也與用戶規模有關，因此我可以得到以下式子：
假設這裡的場景為朋友圈轉髮帶來自然增長，這裡的f（x）=a*b*c*x（a為平均每個用戶能夠轉化進入的用戶數，b是轉發率，c為留存率），然後可以求得最大值。然而這個式子僅限於求解轉發渠道的最優投入產出，而且是否可用也存疑，因此投入產出比部分期待與你的深一步討論。
總結
因為本文目的更多希望與人探討理論，因此將文主整個推導過程敘述了下，為了方便應用，這裡提煉出本文真正應用預測指標的兩個式子（當然對趨勢曲線的理解需要你到文章去找了）：
極限狀態下的增長式：（等式右側）
正常情況下，預測下一個階段用戶（指標規模/經濟）數的式子：（注意，該式僅用於計算每一個點的數值，而不代表一個整個增長的趨勢函數）
當然，本文所述的任何趨勢僅是邏輯上成立，實際情況無論在任何階段，只要投入資金推動暴力增長出現或者讓產品走向流失（崩潰）的趨勢，趨勢都是可以被任意更改的。
然而我只是想告訴你，自然增長的趨勢是什麼，順應自然增長階段投入資源才能拿到最大的回報，投入產出才會最高，在不同階段都制定一樣的增長指標，結果就是在達到16%後的增長變得異常艱難，必須投入越來越多的資金才能保持增長，但是留存卻並不很好看。
因為其實將一群「後期從眾者」強行拉到「創新者」的地位上，從人性來看，需要這個人做出反性格的事，這必然是很難得，即使短期維持住指數增長，它其實是得不償失的。
期待你與我討論
由於資料所限，文主的邏輯上的正確結論未必是實際正確的，如果你有合適的數據想與文主探討，或者對文中的理論有疑義和自己的解釋，那就太好了，文主萬分歡迎你與我一起探討完善這個理論，文主寫這篇文章的目的也就達到了。
本文由 @MrMa 原創發布於人人都是產品經理。未經許可，禁止轉載。
題圖來自unsplash，基於CC0協議