談到平行公設（歐幾裡得第五公設）的證明，我們要先從歐幾裡得五大公設說起。看似一個簡單的聯想，但這其中卻蘊含著豐富的思維過程！蘊含著我們思考問題時的「點」與「線」的結合，即個體與整體的結合來綜合分析，得出我們滿意的結果。
那麼我們先來認識下歐幾裡得五大公設在講什麼吧！
1. 任意兩點可以通過一直線連接
2. 任意線段都能延伸成一直線
3. 任意線段可以一個端點為圓心、該線段為半徑作圓
4. 所有直角都全等
5. 若兩直線都與第三條相交，並且在同一邊內角和小於兩直角，則這兩條直線在這一邊必相交
我們知道，非歐幾何的歷史開始於消除對歐幾裡得第五公設的懷疑，這一條不像其他幾條那樣簡潔、明了，因此很多數學家們，包括歐幾裡得自己都想找到第五公設的證明，使它從公設成為定理。而證明過程中所需的研究途徑有二：1、用一種自明的命題代替平行公設；2、試圖從歐幾裡得其他幾個公理推出公設。但實際在後者的證明中都不自覺地用到了第五公設的等價定理，引進了未加證明的新假設。因此，這種「證明」並沒有減少公理，只不過用第五公設等價的新公理代替第五公設而已。
歐幾裡得
下面我們就來瞅一瞅平行公設的證明發展的歷史吧！
託勒密：想要證明平行公設，但託勒密不自覺的假設了兩直線不能包圍整個空間，並且假定若兩平行線被截線所截，則在截線一側內角成立的東西也必在另一側同樣成立。因為這句話，並不比第五公設更加自然，實際上可以看成是第五公設的一個等價變換而已。這是犯了循環論證的邏輯錯誤。
普羅克魯斯：認為截線一側兩內角到達一定的和數，兩直線可能一定相交，然而對於稍大一點兒而仍小於兩直角的數值，兩直線可能是漸近線。實際上是將一個有問題的公理用另一種說法代替了。漸進的說法，基本上還是定理的意思。
奧馬·海亞姆：試圖證明平行公設，在證明過程中實際上引用了與第五公設等價的假設：兩條直線如果越來越近，那麼它們必定在這個方向上相交。
奧馬·海亞姆
納西爾·丁：換了一種證明方法，但是忽略了一種情況：沒有考慮到折線向左延展過程中，越來越密，以至永遠不能超過中點，更不用說到達邊了。
沃利斯：根據一個明顯的假設即對於任意一個三角形，存在一個三角形與原三角形相似，兩三角形的邊長之比等於任何已給值，去證平行公設。
沃利斯
可以看出一直到這個時候，公設的概念還不是很清晰。
薩凱裡：利用薩凱裡四邊形，得出三種情況（直角假設、鈍角假設、銳角假設）。並用反證法試圖否決掉鈍角假設和銳角假設，從而得出直角假設是正確的。在進行銳角假設進行推導時並非推出矛盾，而是薩凱裡自己覺得不合情理，因此將銳角假設強行否決了。假定直線無限長因此推出鈍角假設的矛盾現在看來是有問題的。
勒讓德：證明三角形內角和不能大於兩直角。又證明在同等條件下面積與虧值成正比。最後得到面積無限擴大，內角和為0的荒謬結論。要證明這個命題仍需引用只有使用平行公設才能證明的結論（循環論證）。
勒讓德
這無數的失敗給人們帶來的重要收穫就是得到了一系列與平行公設等價的命題，而這些命題本身看上去那樣自然以致使某些數學家誤以為它們自然成立，從而導致許多人誤認為自己證明了平行公設。這是為什麼呢？本身自然就能表明解決了要證明的問題嗎？而這個自然成立又是怎麼得到的呢？需要我們認真思考。
同時，我們還會發現，在證明一些定理或者公設的過程中，我們探索的過程中也是在不斷開闢新天地的過程。或許所要解決的問題並非那麼容易得到解決，但我們在過程中已然得到了許多豐富多彩的知識，這大概也是數學美的一種展現吧。
寫在最後
有哪些等價定理呢？
>命題「兩相交直線不能同時平行於第三條直線」與平行公設等價（Fenn，1769）
>命題「過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行」與平行公設等價（Playfair,1795）
>命題「任意三角形內角和等於二直角」與平行公設等價
>命題「每一三角形內角和都相同」與平行公設等價
>命題「畢達哥拉斯定理」與平行公設等價
>命題「圓內接正六邊形的一邊等於此圓的半徑」與平行公設等價
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