畢業班學法013:熟知3倍,玩轉圓錐體積

畢業班學法013：熟知3倍，玩轉圓錐體積

溧之道

儘管我們還沒有窮盡圓柱題型，也沒有必要窮盡，因為題型是創造出來的，隨時都有可能創造出來新題型。和圓柱密切相關的還有圓錐體，學習了圓錐，能更好地了解圓柱。

通常情況下，人們口中的圓柱和圓錐都是指正圓柱，正圓錐，即圓柱和圓錐的高都垂直於底面。

當把正圓柱上底面縮小到圓心時，就變成了正圓錐。正圓錐的高就是頂點和底面圓心的連線。

把扇形兩條半徑重合，就能圍成一個正圓錐形狀。

研究圓錐的體積，離不開圓柱。把圓錐桶裝滿米倒入等底等高的圓柱桶中，倒入3次，就裝滿了圓柱桶，由此，人們在實驗中，發現了圓錐和圓柱的關係。

等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的3倍，圓錐的體積是圓柱體積的三分之一。因此，計算圓錐的體積，公式就是底面積乘高除以3。

很多學生都直呼，啊，真簡單，圓錐的體積這麼好學呀！真的嗎？

013.完成下面的填空。

（1）等底等高的圓柱和圓錐，圓柱的體積是圓錐體積的（3）倍，圓柱比圓錐的體積多（2）倍。圓柱比圓錐的體積大628立方釐米，圓柱的體積是（942）立方釐米，圓錐的體積是（314）立方釐米。

分析：圓柱的體積比等底等高圓錐的體積大2倍，正好大628立方釐米，如果把圓錐的體積看作1份，圓柱的體積就用3份表示，628立方釐米就佔了（3－1）份，因此，圓錐的體積是628÷2＝314（立方釐米）。圓柱的體積是314×3＝942（立方釐米）。

現在，你理解了3倍的含義了嗎？你肯定會點頭，認為難度還行，能夠理解。繼續朝下看。

（2）圓錐的體積是等底等高圓柱體積的（1/3），圓錐體積比圓柱體積少了（2/3）。圓錐體積比圓柱體積少了628立方釐米，圓錐的體積是（314）立方釐米，圓柱的體積是（942）立方釐米。

分析：把圓柱的體積看作1份，等底等高的圓錐的體積是1份的（1/3），少的628立方釐米是1份的（1－1/3），628÷2/3＝942（立方釐米），因為1份是表示圓柱的體積，所以，圓柱的體積是942立方釐米。圓錐的體積是942×1/3＝314（立方釐米）。

現在，你還能理解嗎？你感覺到頭有點暈，需要清醒清醒。

3倍，可以看得見，形象具體。但是1/3是抽象的，人們平時很少會用分數表示數量關係，所以你犯暈了。

熟知3倍，不僅僅是理解3倍的關係，更主要的是理解1/3的關係，3倍和1/3是等同的關係，都是表示兩個量之間的倍數關係或分率關係，當倍數小於1時，把「倍」去掉，就說幾分之幾了。分率的「率」就是倍數的意思，比如圓周率，指圓的周長是該圓直徑的π倍。百分率指一個量是另一個量的百分之幾的關係。

我們不僅要會用倍數表示數量關係，還要熟練地用分率表示倍數關係，一般叫分率關係，指倍數小於1。

（3）判斷對錯。

①圓柱的體積是圓錐體積的3倍。（錯），因為沒有說等底等高這個前提。

②圓錐的體積是圓柱體積的1/3。（錯），因為沒有說等底等高這個前提。

③圓錐的體積是圓柱體積的1/3，所以說圓錐和圓柱等底等高。（錯），1/3不一定能確立等底等高。

④圓柱的體積是圓錐的3倍，所以說圓柱和圓錐等底等高。（錯），因為3倍還不能確定它們就一定等底等高。

圓錐的體積是等底等高圓柱體積的1/3。這是一個充分條件的命題，不是一個充要條件，等底等高是得到1/3的充分條件，但存在1/3關係的圓錐不一定和圓柱等底等高，1/3是得到等底等高的必要條件。對於小學生來說，理解充要條件、必要條件、充分條件，存在有一定的難度。

熟知3倍關係，最好的辦法是實驗，讓學生親自動手搲米做實驗，而且要親口說出等底等高的圓柱和圓錐之間的多種表達關係。還要配合一定量的練習和推理，才能達到駕輕就熟的解題效果。

（4）一個圓錐和一個圓柱底面積相等，體積的比是1比6.如果圓錐的高是4.2釐米，圓柱的高是（8.4）釐米。如果圓柱的高是4.2釐米，圓錐的高是（2.1）釐米。

分析：圓錐體積比圓柱體積＝1比6，底面積×圓錐高÷3比底面積×圓柱高＝圓錐高÷3比圓柱高＝1比6，等式兩邊同乘圓柱高，得到圓錐高÷3＝圓柱高÷6，等式兩邊同時乘6，得到圓柱高＝2圓錐高，即圓柱高是圓錐高的2倍。求圓柱高的算式是4.2×2＝8.4（釐米），求圓錐高的算式是4.2÷2＝2.1（釐米）。

現在，你能玩轉圓錐的體積了嗎？