圖1：規範場論的大師們
READING
導讀
和量子物理類似，規範場論（Gauge Theory）不是一個人的功勞，而是許多位大師級科學家們集體智慧的結晶，是物理與數學、真與美的結合。
1687年，牛頓（Isaac Newton，1643-1727）在他的《自然哲學的數學原理》一書中，首次發表了萬有引力定律，這個理論將地上的重量和天上星體間的作用力統一在了一起。從那時候開始，物理學家就做起了「統一夢」：企圖將萬事萬物統一在一個物理理論的框架中。那麼，所謂萬事萬物是指什麼呢？以還原論的觀點，最後都可以歸納為若干「基本粒子」以及這些粒子之間的「相互作用」。
迄今為止，物理學界公認的粒子有若干個，但基本相互作用只有4種：引力、電磁力、弱相互作用和強相互作用。因此，我們本節首先介紹描述相互作用的規範場理論，下一篇再介紹包括基本粒子的標準模型。
撰文 | 張天蓉
責編 | 寧 茜、呂浩然
01
外爾的錯誤模型
赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）是德國數學家及物理學家，對數學和理論物理做出了傑出的貢獻，被公認為是20世紀最有影響力的數學家之一。
數學家多少有幾分詩人氣質，外爾就給人這樣的印象。也許是在神聖的數學王國中遨遊，長期受「美」的薰陶所致，他時不時會冒出幾句詩意的話語。外爾曾經用「蘇黎世一隻孤獨的狼」來描述被自己崇拜的偶像愛因斯坦批評時，那種失望和迷茫的心態。這是外爾研究統一場論時的一段故事。
外爾對「美」有一種獨特的欣賞方式，他特別欣賞自然界的對稱美。外爾上世紀50年代初在普林斯頓大學作了一系列有關對稱的演講，後來寫成一本名為《對稱》的科普小書，廣受讀者歡迎。規範理論的誕生，便與外爾追求「對稱統一美」的工作有關。
外爾所著的《對稱》一書
外爾曾任蘇黎世聯邦理工學院數學系的系主任，在那裡和年長几歲的愛因斯坦是同事，也深受愛因斯坦的影響。在他1918年的《空間，時間，物質》一書中，外爾回溯了相對論物理的發展。同一年，他引入了規範（gauge，即尺度變換）的概念，並給出了規範理論最早的例子。
1933年納粹執政時，外爾也和愛因斯坦一樣，相繼避難於美國，成為普林斯頓高等研究院早期的重要成員。愛因斯坦追求統一場論數年未果，外爾則企圖將愛因斯坦有關統一的想法在某種程度上數學化。外爾用規範變換作了一個不成功的嘗試：企圖用時空的幾何性質來統一描述電磁場和引力場。這雖然是一個錯誤的模型，但卻開啟了規範場理論進入物理學的大門。
四種相互作用中的強、弱相互作用僅存在於微觀世界，人們在日常生活中最熟悉的、科學家們研究最成熟的，是引力和電磁力。當年的外爾，深切感受到廣義相對論及麥克斯韋電磁理論既真又美的特點。因此，外爾首先想到的，便是用他欣賞的規範理論，將這兩者統一起來。
所謂「統一」，實質上就是尋求不同理論之間的某種對稱性，而規範不變便是系統某種內在對稱性的數學表達。
對稱的意思就是在某種變換下不變，就好像外爾《對稱》一書封面上的蝴蝶，沿中線轉180度還是一樣的。因而表述它的變量具有冗餘性，有某些多餘的東西。例如：我們說雪花的形狀是六角對稱的，意思是說當我們將它以中心點旋轉60度、120度、180度等角度時，它的形狀不變，因而可以只用它1/6的形狀，便能描述整體。將這個概念用到物理上，即物理理論中的某種內在對稱，可以被描述為規範理論中的「規範不變」。
電路中 「電壓」 的概念，是物理理論中具有冗餘變量的通俗例子。大家都知道220伏特的交流電是危險的，接觸到便會置人於死地，幾萬伏特的高壓線就更不用說了。但是，你可能也注意到立於高壓線上的鳥兒，卻似乎一點危險也沒有感到，仍然能夠自由自在地活蹦亂跳，那是什麼原因呢？
這是因為用「絕對的電壓值」來描述電力系統具有某種冗餘性。因為電力系統對絕對電壓值的「平移」具有對稱性。絕對電壓V並不是真正起作用的物理量，鳥兒兩個腳的V1和V2之間的「電壓差」V（V=V1-V2）才具有實在的物理效應。也就是說，用兩個數值（V1、V2）來表示系統的危險性是多餘的，只需要一個數值V就足夠了。這也就是為什麼在電路中（包括電子線路），「接地」的概念是很重要的原因。
用物理語言解釋以上例子，可以說成是「電壓具有平移規範對稱性」。
重力場也具有與上述電力系統類似的平移規範對稱性。就像父母不在乎孩子從五樓房間的床上跳到地板上，但絕對不允許孩子從五樓的平臺跳到樓下的草地上。這兒的物理效應也是這樣，不管「絕對高度」，只取決於高度的相對差距而已。
同樣類似的「規範」概念可以搬到經典電磁場中，只不過比上述的「平移規範」具有更為複雜的形式。平移規範對稱性是整體規範變換的實例，可以用電路接地，即定義一個整體的零點「地」來解決。電磁場規範變換則是局部時空場的變換，即隨著時空點的不同而不同。
根據麥克斯韋電磁理論，電磁場可以用電場E和磁場H來描述，也可以用考慮相對論效應的4維電磁勢A來更為方便地描述。但是，根據經典電磁理論，只有電場和磁場才與物理效應有關，電磁勢與物理效應不是一一對應的，它具有一定冗餘性，就像「絕對電壓」很高的值並不能電死鳥兒一樣，電磁勢的值不完全等效於物理作用。經典電磁理論中，對於同樣的電場和磁場，電磁勢A不是唯一的，如果四維電磁勢A作如下規範變換時，電場E和磁場H保持不變：
A A θ(x)（1）
其中θ是一個任意函數，這說明對於描述同樣的電磁場，四維矢量勢A不唯一。上文的規範變換一詞，便反映了電磁系統用4維矢量勢來表述電磁場時的冗餘性。
外爾認為可以「利用」電磁勢的這個冗餘性。他的做法是：當四維電磁勢A作如（1）的規範變換時，給廣義相對論的時空黎曼度規乘上一個尺度（規範）因子λ(x) =eθ(x)：
gijeθ(x)gij（2）
如此得來的「新度規」，在形式上可以包容電磁場，數學上看起來非常美妙，閃耀著新思想的火花。然而，當外爾興致勃勃地將他的文章寄給愛因斯坦後，得到的反饋卻不咋地。愛因斯坦一方面讚賞外爾幾何是「天才之作、神來之筆」，一方面又從物理的角度，強烈批評了這篇文章脫離了物理的真實性。
因為從物理上講，外爾在度規函數中引入一個任意的函數λ(x)，即相當於在4維時空中的每一個點都可以有任意不同的長度單位和時間單位，也就是有任意不同標度的鐘與尺，好比我在家裡的臥室裡測量結果是「高2米、年齡20歲」，但到了廚房就被測量成了「高4米、年齡10歲」，這在物理上是不可能被接受的。
因此，外爾企圖統一電磁和引力的模型失敗了，儘管它具有數學之美，卻失去了物理之真。
02
電磁場——第一個規範場
1. 規範變換不是作用在度規張量gij上，而是作用在電子標量場f上;
2. 在原來變換中尺度因子的指數上，乘了一個i，也就是-1的平方根。
這一次，聰明的外爾迴避了「老大難」的引力場統一問題，轉而研究電磁場和電子的相互作用。此外，外爾將原來的規範因子，乘上了虛數i，改變成了電子波的「相」因子，意味著引入了電子的波動性，進入了量子力學。
在上述兩點改變下，外爾的電磁規範變換成為以下由兩個變換組成的聯合運算：
feiqθ(x)f， AA iq θ(x)（3）
圖2：經典規範變換和量子規範變換之不同
圖2的（a）和（b）分別直觀地說明了經典規範變換（1）和量子規範變換（3）的不同。經典電磁場的規範變換，只是電磁勢A自己變換，然後使得E和B變化而引起電子所受作用力F的變化，電子完全處於被動的位置。量子理論中的規範變換，將電子場f的相因子變換，以及電磁勢A的補償變換結合起來，電子不再是被動的，而是通過電子場與電磁場相互作用，兩者一起變換。
公式（3）中，為了更簡單明了，將電子的場函數f取為標量函數，但實際上，它是代表薛丁格方程（或狄拉克方程）的解，不是標量。此外，量子規範變換的公式（3）僅與粒子的電荷q有關。實際上，物理學家為了方便，一般採用一種特別的單位，稱之為自然單位，其中令約化普朗克常數和光速c都為1。
改進後的外爾規範理論，已經不是原來的尺度變換理論，而變成了「相因子變換」理論。它沒有了愛因斯坦當年所批評的「鍾和尺」不確定的問題，被成功地應用於量子電動力學中，為實驗所精確證實。量子化之後的四維矢量勢A，也正確地描述了與電子相互作用的電磁場。
在量子理論中，電子場f，或者是波函數f(x)表示的是電子的機率幅，它的絕對值的平方是電子在時空中某一點出現的機率，而複數相位的絕對大小沒有物理意義，有意義的只是不同時空點之間的相位差，它影響到機率波的幹涉效應。因此，規範變換中將機率幅乘上一個相因子eiqθ(x)，意味著機率幅的相位變化了一個角度qθ(x)，對計算機率絲毫沒有影響。
在規範變換作用下，如果能使得物理規律保持不變而引入的場，被稱之為規範場。如果物理規律符合量子理論，便是量子化的規範場。
因此，符合變換（3）的電磁場是第一個量子規範場（光子場）。根據諾特定理，對稱與守恆相對應。量子化電磁場的規範不變對稱性，對應於電荷（q）守恆定律。使用群論的語言，相因子對稱也就是U(1)群對稱。酉群U(1)是1維複數群，與實數2維空間的旋轉群SO(2)同構，也就是說，電磁規範場符合U(1)對稱，即「平面上的旋轉對稱」。
03
楊-米爾斯-非阿貝爾規範場
二維旋轉U(1)是可交換的，被稱為阿貝爾群。大多數對稱性對應的是更為複雜的、不能交換順序的非阿貝爾群。例如，三維旋轉群就是不能交換順序的「非阿貝爾」群。當物理學家們試圖將電磁規範場推廣到另外兩種相互作用（強、弱）時，便碰到了非阿貝爾規範場（non-Abelian gauge field）的問題。這個問題最後被楊振寧（Chen-Ning Yang，1922-）和米爾斯（Robert Laurence Mills，1927-1999）首先突破。因此，之後便將非阿貝爾規範場稱為楊-米爾斯場（Yang-Mills field）。
1949年春天，楊振寧前往普林斯頓高等研究院作研究。同一年，外爾退休離開了普林斯頓，楊振寧搬進了外爾的舊居，並成為高等研究院的永久成員。
楊振寧不僅接租了外爾的房子，還接替了外爾在理論物理界的位置，按照戴森（Freeman Dyson，1923 -2020）的說法，「成為了理論物理界的一隻領頭鳥」[1]。更有趣的是，楊振寧對外爾在規範理論方面的工作非常感興趣。這個共同的興趣——對物理真及數學美的追求，激勵他之後對外爾的規範理論作了一個漂亮的推廣。
四種相互作用中的電磁力和引力是長程力，作用範圍大，因此日常生活中就能感覺到，另外兩種是短程力，只表現於微觀世界。弱力在beta衰變中存在，費米（Enrico Fermi，1901-1954）在20世紀30年代對其作出了最早的描述。對強相互作用的認識始於1947年發現與核子作用的π介子及其它「強子」。強作用比弱相互作用的力程長（約為10-15m），作用最強（電磁力的137倍），它是核子（質子或中子）之間的核力，是使核子結合成原子核的相互作用，因而成為當時研究者的首選。
強相互作用比其他三種基本作用有更大的對稱性，需要有新的物理學說來解釋此現象。這點正好符合了楊振寧要推廣規範場的想法。
1953-1954年，楊振寧暫時離開高等研究院，到紐約長島的布魯克海文國家實驗室（Brookhaven National Laboratory , BNL）工作了一段時期，正好和來自哥倫比亞大學的博士生米爾斯使用同一個辦公室。布魯克海文實驗室有當時世界上最大的粒子加速器，世界各地也不斷傳來多種介子被陸續發現的消息，這些實驗使得兩位物理學家既振奮又雄心勃勃，楊振寧認為迫切需要一個描述粒子間相互作用的有效理論，他對規範理論的思考也有了重大的突破。他和米爾斯認識到描述同位旋對稱性的SU(2)是一種「非阿貝爾群」，與外爾的電磁規範理論的對稱性U(1)完全不同，需要進行不同的數學運算。
比如，將四維電磁矢量勢A，推廣到楊-米爾斯場的情況時，勢場用B來表示。A是電子場的勢，B是楊-米爾斯場的勢。因為楊-米爾斯場描述的對象是兩個分量的同位旋， 與其相對應的B 也不是原來類似A的矢量場了，而是成為2x2的矩陣場B。而二維矩陣是不對易的，因而，在相應的張量Fmn表達式中需要加上一項對易子，見圖3。
圖3：從電磁規範場到非阿貝爾規範場
楊振寧和米爾斯認識到這點，加上對易子一項。如楊振寧在回憶中說：「我們知道我們挖到寶貝了！」[2]。通過兩人卓有成效的合作，他們在《物理評論》上接連發表了兩篇論文，提出楊-米爾斯規範場論。
寄出文章之前，1954年的2月，楊振寧應邀到普林斯頓研究院作報告，正逢泡利在高研院工作一年。當楊在黑板上寫下他們將A推廣到B的第一個公式時，「上帝鞭子」泡利開始發言了：「這個B場對應的質量是多少？」 ，急得楊振寧一身冷汗，因為這個問題一針見血地點到了他們的「死穴」。之後泡利又問了一遍同樣的問題，楊只好回覆說事情很複雜，泡利聽後便冒出一句他常用的妙語：「這是個很不充分的藉口」。當時的場景使楊振寧分外尷尬，報告幾乎做不下去，虧得主持人奧本海默（Julius Robert Oppenheimer， 1904-1967）出來打圓場，泡利方才作罷，之後一直不語。
泡利尖銳的評論，說明他當時已經思考過推廣規範場到強弱相互作用的問題，並且意識到了規範理論中有一個不那麼容易解決的質量難點。因為規範理論中的傳播子都是沒有靜止質量的，否則便不能保持規範不變。在電磁規範場理論中，作用傳播子是光子，光子正好本來就沒有靜止質量。但是，強相互作用不同於電磁力，電磁力是遠程力，強弱相互作用都是短程力，短程力的傳播粒子一定有質量，這便是泡利當時所提出的問題。這個質量的難題，讓規範理論默默等待了20年。
從上一篇的介紹可知，之後的希格斯機制（Higgs Mechanism），解決了這個質量問題。
04
電磁、強、弱作用的統一
當年楊-米爾斯理論的原意是要解決強相互作用問題，儘管這個目的沒有立即達到，但卻構造了一個非阿貝爾規範場的模型，為所有已知粒子及其相互作用提供了一個框架和基礎。
史蒂芬·溫伯格（Steven Weinberg，1933-）與謝爾頓·格拉肖（Sheldon Glashow，1932-）、及阿卜杜斯·薩拉姆（Abdus Salam，1926-1996），用規範理論解決了弱電統一問題U(1) *SU(2)，由此3人共同獲得了1979年的諾貝爾物理學獎（見下一篇）。
類似於量子電動力學（QED），強相互作用可被基於SU(3)規範對稱性的量子色動力學 （QCD）描述。因此，在眾多物理學家們的努力下，將除了引力之外的電磁及強弱相互作用，用規範理論（對稱群U(1) *SU(2)*SU(3)）統一起來，並在此基礎上建立了我們下一篇將介紹的標準模型。即使是尚未統一到標準模型中的引力，也完全可以包括進經典規範場的理論之中。
05
數學家們
楊-米爾斯規範理論，不僅僅是物理學中統一理論的基礎，還頗受數學家們的青睞，對於純粹數學的發展，起到了一定的推動作用。
規範場論中的規範勢，恰是數學家在20世紀30-40年代以來深入研究過的纖維叢上的聯絡。這個聯繫激起了數學家對規範場方程進行了許多深入的研究。
麥可·阿蒂亞爵士（Michael Atiyah，1929-2019）是黎巴嫩裔英國人，他在1966年榮獲菲爾茲獎（Fields Medal），被譽為當代最偉大的數學家之一。
阿蒂亞的早期工作主要集中在代數幾何領域。70年代後他的興趣轉向規範場論，著力研究瞬子和磁單極子的數學性質。他出版的專題文集《楊-米爾斯場的幾何學》（Geometryof Yang-Mills Fields），使眾多數學家對規範場日益重視。近30年來，在量子場論和弦理論的研究中，他對低維拓撲和無窮維流形幾何的研究，深刻影響了愛德華·威滕（EdwardWitten，1951-）等數學物理學家。
1990年的國際數學家大會有四位菲爾茲獎獲獎者：威滕、德林菲爾德（V.Drinfel'd，1954-）、瓊斯（Vaughan Jones，1952-2020）、森重文（Shigffumi Mori，1951-）。除了森重文，其他三人的工作都和楊-米爾斯場有關。其中，威滕是理論物理學家，對物理統一理論做出了傑出的貢獻，我們將於以後介紹他對弦論的傑出貢獻。
參考文獻
[1] Dyson F J.Birds and Frogs[M]. Selected Papers of Freeman Dyson, 1990-2014[M].Singapore:World Scientific Publishing Company，2015:，p212-222
[2] 楊振寧.我的學習與研究經歷[OL].http://www.ishare5.com/4526563/.
製版編輯 | Morgan
由於微信公眾號試行亂序推送，您可能不再能準時收到墨子沙龍的推送。為了不與小墨失散， 請將「墨子沙龍」設為星標帳號，以及常點文末右下角的「在看」。
墨子沙龍是以中國先賢「墨子」命名的大型公益性科普論壇，由中國科學技術大學上海研究院主辦，中國科大新創校友基金會、中國科學技術大學教育基金會、浦東新區科學技術協會、中國科學技術協會及浦東新區科技和經濟委員會等協辦。
墨子是我國古代著名的思想家、科學家，其思想和成就是我國早期科學萌芽的體現，「墨子沙龍」的建立，旨在傳承、發揚科學傳統，建設崇尚科學的社會氛圍，提升公民科學素養，倡導、弘揚科學精神。科普對象為熱愛科學、有探索精神和好奇心的普通公眾，我們希望能讓具有中學同等學力及以上的公眾了解、欣賞到當下全球最尖端的科學進展、科學思想。
關於「墨子沙龍」