日有所思，夜有所夢。每天都在做數學，夢中就出現了數學問題。從中學題目到部分大學在研究生才學習的李群和李代數，有這麼幾道有意思的題，姑且記來。
撰文｜鹹道
《紅樓夢》中有一個故事：香菱學作詩，用了很多苦功也沒能作好，卻在夢中作出一首好詩。當然這有點「怪力亂神」的味道。據說著名的小提琴曲《魔鬼的顫音》也是在夢中作出的。那麼在現實中這樣的事真的能發生嗎？我所關心的是：在夢中能做數學嗎？
也許某些天才可以，而吾等凡夫俗子是不行的。在我的夢中，場景變化很快，而且是跳躍式的，每個場景持續的時間很短，更談不上邏輯性。而要證明一個定理，需要多步推理且還要反覆檢驗，在夢中當然不可能做到。
但是，在夢中出現一個好的 idea 倒並非不可能。如作詩夢見一個妙詞或妙句，我還是相信的。但另一個問題是，絕大多數夢境在醒來時都忘了，只有在夢見妙句時突然醒來，才有可能記下並傳之於世。
對於數學，這樣的好事最近我遇到多次，寫出來與大家分享，就是數學的「痴人說夢」了。
一 日有所思
先得說明一下「日有所思」，才好解釋什麼是「夜有所夢」。
由於新冠肺炎流行，我和大家一樣宅在家裡。首先要做的是修訂《李群與李代數基礎》一書。這是2015年出版社就約稿的，去年8月我計劃再講一次定稿。爾後順利講完，但整理書稿的工作量仍很大。幸乎不幸乎，新冠肺炎讓我有了時間，而且學校延期開學，開學後又是網上授課，這樣我有了近兩個月的連續工作時間，終於在上周完成了修訂工作，向出版社交稿了。所以現在有時間聊些輕鬆愉快的話題。
開學後的教學工作，當然也是與數學有關的。一方面是研究生課程《交換代數與同調代數》，我覺得上網課肯定是不行的，遂採用了「網上討論班」的授課方式。實行以來相當有效，因為同學們提出的問題往往是同學們先回答，而且到處查閱資料。大家在微信群中上傳的文件也很多，有些貪婪的同學把整本的厚書上傳，如EGA（格羅滕迪克的著作 Eléments de Géométrie Algébrique 的簡寫，即《代數幾何原本》）和布爾巴基學派的書。除了研究生課程，我還有對本科生甚至中學生的教學任務，這些目前還沒有值得一提的進展，但仍在努力。
應該說這些工作的難度都不大，否則我晚上只會做噩夢。但畢竟每天都在玩數學，夢中就會常出現數學問題，有幾個醒來時還沒忘，而且覺得有點意思，下面就一個個寫出來。不是按照做夢的時間順序，而是按照難度從低到高排列的。
二 夜之所夢
01 夢到數學題
02 夢到本科題
03 夢到李群與李代數問題之一
04 夢到李群與李代數問題之二
下面說的這個夢，儘管是轉瞬即逝，要聽痴人說夢卻有點辛苦，需要跟著做好幾個習題才行。
在夢中也是苦苦掙扎，這次是努力用直線的無窮小運動計算李代數。如我在前文所說，吾等凡夫俗子肯定是算不出的。掙扎著就醒了。
醒來後想想，在夢中算的是什麼李群的李代數呢？一般的線性群的李代數在教科書中不是都有計算嗎？
無窮小運動！明白了，在夢中算的是運動群。
這還真是個問題，一般的教科書中沒有。為了詳細解釋，我把需要做的習題逐個列出，不想做的就別往下看了。
由於ΓO(V,<,>)不是GL(V)的子群，關於線性群的李代數的結果不能直接套用。但可利用
的一個很好的線性表示來解決這個問題。
這樣就在書中又增加了一道習題。
三 尾聲
諸位在抗疫期間都好嗎？問候大家了。
如果您成天看的都是疫情消息，這篇文章就算是給您打打岔了。
在這段時間能做幾個好夢，也算是不幸之中的小幸了。
不知諸位是否也做過數學的好夢，若有請拿來分享。
謝謝大家。