三角形面積的海倫-秦九韶公式

[引言]已知三角形的三邊可以確定一個三角形，不僅可以確定三角形的三個內角，而且可以確定三角形的面積。這就是著名的海倫-秦九韶公式。2019版的高中數學教材對此特意進行了修訂。

 

[海倫公式](Haron’s Formula)已知△ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c，則△ABC的面積為，

其中p為△ABC的半周長，

 

[海倫公式的證明]方法一：在△ABC中，過A做底邊BC上的高，垂足為D。CD為AB邊上的高，記為h。

設AD=x，則BD=c-x。則在Rt△ADC和RT△BDC中，利用勾股定理有，

將它們聯立，消去h，整理有

於是x為

代入h的表達式，有

從而△ABC的面積為，

令p為

則有，

因此有，

方法二：根據三角形的面積公式，有

利用餘弦定理，有

代入面積公式，並利用平方差公式化簡得

令p為

同樣有，

 

注釋1：還有利用三角形內切圓半徑的證明，這裡從略。

 

注釋2：海倫(Haron，公元10-70年)，古希臘的工程師和幾何學家。該公式最早出現在海倫的著作《測地術》中，並在海倫的著作《測量儀器》和《度量數》中給出了證明。然而據稱首先發現這一公式的是阿基米德。

 

[三斜求積術]中國宋代的數學家秦九韶在1247年獨立提出了「三斜求積術」，如圖所示。

秦九韶是用語言敘述的相關公式：以少廣求之，以小斜冪並大斜冪減中斜冪，餘半之，自乘於上；以小斜冪乘大斜冪減上，餘四約之，為實；一為從隅，開平方得積。在2019版的教材中，利用餘弦定理給出了證明，並將結果表示為，

[海倫-秦九韶公式]我們現在來證明，三斜求積術的公式即是海倫公式。

 

將秦九韶公式，利用平方差公式展開得，

令p為

也有，

 

[四邊形的形式]由於三角形只有三條邊，所以海倫公式在根號下需要放入半周長p，來「湊成」四次方的形式，從而開方後為邊長的平方。

 

對於一般的平面四邊形，有類似的結論。不過符合海倫公式形式的四邊形為四點共圓的四邊形，此時它的面積最大，

其中，p為四邊形ABCD的半周長。具體推導請參見：邊長固定四邊形面積的最大值。該公式由婆羅摩笈多(Brahmagupta)在公元7世紀初的一部論及天文的著作中給出。

 

[後記]在2019版的教材中增加了秦九韶公式，之前的版本只有海倫公式。雖然「可以充分說明我國古代學者就有很高的數學水平」，但是無論表達的簡潔性和體系的完整性，現代的數學發展與中國的古代數學相距甚遠，而更接近古希臘的數學體系。

 

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