數學 | 已知三角形三條邊長求某一條邊對應的高

2021-01-14 神奇口袋吖
在數學中求解幾何題時，我們經常會碰到這樣的題目：已知三角形的三條邊長，求解某一條邊對應的高。如下圖，已知三角形ABC，三條邊長分別為a，b，c，求邊長a對應的高h。這個題目有幾種解法呢？我們來探討下。

缺點：此方法計算看似簡單。但在實操過程中，當邊長為無理數時，例如三邊長分別為 

解法4：秦九韶公式

這個解法是我們從解法1和2中推導而來的一個公式，其實也是秦九韶面積公式的推導過程。如果能熟練使用這個公式，既可以省掉解法1和解法2繁雜的步驟，又可以避免因為無理數運算在海倫公式中產生的龐大運算量。

解讀：我們很容易發現帶根號的這一部分和秦九韶公式很類似（其實推導得到的面積公式就是秦九韶公式）。此公式在形式上也很規整，被減數是任意相鄰兩邊長乘積的平方，減數平方中的分子部分是前一項對應的相鄰兩邊長的平方和減去第三邊的平方。如果求a邊對應的高，用帶根號這部分算出來的數除以a。同理，b邊對應的高直接除以b即可，c邊對應的高直接除以c即可。「求三角形對應邊長的高」還在高中數學立體幾何中求解二面角時經常用到，而求高的問題在這些題目中只是一個小步驟，如果能快速得到三角形的高，解題將會更加輕而易舉。

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