知識點總結
平行線分線段成比例定理
平行線分線段成比例定理指的是兩條直線被一組平行線（不少於3條）所截，截得的對應線段的長度成比例。
推論：平行於三角形一邊的直線，截其他兩邊（或兩邊延長線）所得的對應線段成比例。
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簡介
編輯
平行線分線段成比例亦稱平行截割定理，平面幾何術語，指三條平行線截兩條直線，所得的四條線段對應成比例，如圖1，，則
平行截割定理是研究相似形最常用的一個性質，它的重要特例：在一直線上截得相等線段的一組平行線，也把其他直線截成相等的線段，稱其為平行線等分線段。[1]
圖1
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定理證明
編輯
設三條平行線與直線 m 交於 A、B、C 三點，與直線 n 交於 D、E、F 三點。
連結AE、BD、BF、CE
根據平行線的性質可得 SABE=SDBE， SBCE=SBEF，
∴SABE/SCBE=SDBE/SBFE
根據不同底等高三角形面積比等於底的比可得：AB/BC=DE/EF。
由更比性質、等比性質得：AB/DE=BC/EF=(AB+BC)/(DE+EF)=AC/DF。
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定理推論
編輯
過一點的一線束被平行線截得的對應線段成比例。
平行於三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應線段成比例。
平行於三角形一邊，並且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。
平行線分線段成比例定理：
三條平行線截兩條直線，所得對應線段成比例。
推廣：過一點的一線束被平行線截得的對應線段成比例。
定理推論：
平行於三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應線段成比例。
平行於三角形一邊，並且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例。
01
平行線分線段成比例的基本事實
1.基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。
2.符號表示：如圖
02
平行線分線段成比例的基本事實的推論
1.推論：平行於三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對應線段成比例。
2.符號表示：如圖
【知識梳理】
1. 平行線分線段成比例定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。
2. 推論：
（1）平行於三角形一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，截得的對應線段成比例。
（2）平行於三角形的一邊,並且與其它兩邊（或兩邊的延長線）相交的直線,所截得的三角形的三邊,與原三角形的三邊成比例.
（3）推論的逆定理:如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那麼這條直線平行於三角形的第三邊
習題講析
如圖，l1∥l2∥l3,DE=6,EF=7,AB=5,求AC的長。
【解析】
當然，也可以先求出DF=6+7=13，由
可直接求出AC的長。
有困難的同學也可以對圖形進行轉化，以便理解，如下圖：
典例2
在ABC中，DE//BC，∠ADE=∠EFC，AD:BD=5:3，CF=6，則DE的長為________．
【分析】由DE//BC可得出∠ADE=∠B，結合∠ADE=∠EFC可得出∠B=∠EFC，進而可得出BD//EF，結合DE//BC可證出四邊形BDEF為平行四邊形，根據平行四邊形的性質可得出DE=BF，由DE//BC可得出ADE∽ABC，根據相似三角形的性質可得出BC=85DE，再根據CF=BC BF=35DE=6，即可求出DE的長度．
【解答】
如圖,在ABC中,M是AC邊中點,E是AB上一點,且AE=1/4AB,連接EM並延長,交BC的延長線於D,此時BC:CD為()
A. 2:1 B. 3:2 C. 3:1 D. 5:2
【分析】過M作MF∥BD，根據M為AC的中點，可知FM為ABC的中位線，即FM=1/2BC，F為AB的中點，再由AE=1/4AB可知，E為AF的中點，故EF=1/3BE，由MF∥BD可知EFM∽EBD，其相似比為1：3，即FM=1/3BD，由FM=1/2BC可知CD=1/2BC，即可求出答案．
【解答】過M作MF∥BD，如圖所示：
∵M是AC邊的中點，
∴FM為ABC的中位線,即FM=1/2BC，F為AB的中點，
∵AE=1/4AB，
∴EF=1/3EB，
∵MF∥BC，
∴EFM∽EBD,其相似比為1:3,即FM=1/3BD，
∵FM=1/2BC，
∴CD=1/2BC，即BC:CD=2:1.
故選A.
【點撥】求三角形中線段的比的思路：
求三角形中線段的比時，通常是過「分點」或「端點」添加平行線，構造「平行線分線段成比例」的基本圖形，從而直接或間接找到含待求線段的比例式，運用方程思想進行求解。
導學案
教學目標：
1、理解並掌握平行線分線段成比例的基本事實及其推論，並會靈活應用。
2、通過應用，培養學生的識圖能力和推理論證能力，同時在探索活動中發展學生的發現歸納意識並養成合作交流的習慣。
教學重點：平行線分線段成比例定理和推論及其應用。
教學難點：平行線分線段成比例定理及推論的靈活應用，平行線分線段成比例定理的變式。
教學過程：
一、複習設疑
1、什麼是成比例線段？
2、你能不通過測量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2：3？
二、新知探究
1.探究活動一：
內容：如圖（1）小方格的邊長都是1，直線a∥b∥c，分別交直線m，n於A1，A2，A3，B1，B2，B3。
計算EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMAT你有什麼發現？
將ｂ向下平移到如下圖2的位置，直線ｍ，ｎ與直線ｂ的交點分別為A2，B2。你在問題（1）中發現的結論還成立嗎？如果將ｂ平移到其他位置呢？
（圖2）
（3）在平面上任意作三條平行線，用它們截兩條直線，截得的線段成比例嗎？
嘗試歸納你的發現：__________________________________________。
（4）深入思考：
=1GB3MERGEFORMAT你對歸納的這句話是怎麼理解的？
=2GB3MERGEFORMAT如何用符號語言來表示它？
探究活動二：
內容：如圖3，直線a∥b∥c，分別交直線m，n於A1，A2，A3，B1，B2，B3。過點A1作直線n的平行線，分別交直線b，c於點C2，C3。（如圖4），圖4中有哪些成比例線段？
（圖3）（圖4）
嘗試歸納你的發現：__________________________________________。
變形識圖
探究活動三：
內容：直線EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMATEMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMAT被直線EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMAT所截，且EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMAT則圖中還有哪些線段相等？
EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMATEMBEDEquation.KSEE3MERGEFORMAT
思考：當平行線之間的距離相等時，對應線段的比是多少？
2.如何不通過測量，運用所學知識，快速將一根繩子分成兩部分，使這兩部分之比是2：3？
學以致用
例1、如圖，在ABC中，E、F分別是AB和AC上的點，且EF∥BC，
（1）.如果AE=7，EB=5，FC=4，那麼AF的長是多少？
（2）.如果AB=10，AE=6，AF=5，那麼FC的長是多少？
四、鞏固強化
1、如圖，已知l1//l2//l3，
（1）.在左圖中AB=5，BC=7，EF=4，求DE的長。
（2）.在右圖中DE=6，EF=7，AB=5，求AC的長。
2、如圖，在ABC中，D、E分別是AB和AC上的點，且DE∥BC，
（1）.如果AD=3.2cm，DB=1.2cm，AE=2.4cm，那麼EC的長是多少？
（2）.如果AB=5cm，AD=3cm，AC=4cm，那麼EC的長是多少？
※3、如圖，在EMBEDEquation.DSMT4MERGEFORMAT中，D，E，F分別是AB，AC，BC上的點，且DE//BC，EF//AB，AD：DB=2：3，BC=20cm，求BF的長
課堂小結
布置作業
課本P119複習題第3題
七、課後反思
圖文導學
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