巧證含不確定點的線線平行

2021-01-18 韓老師帶你學數學

*本文系2017年甘肅省教育科學 「十三五」規劃「隴原名師」專項課題「中學數學教學中圖形教學的策略及效果研究」（立項號：GS[2017]MSZX057）的成果之一。 


  

摘 要：線線平行的證明是立體幾何中證明與計算時常用到的問題，從初中開始我們就掌握了各種線線平行的證明方法，但有一類線線平行的證明常常困擾著我們，那就是當要證的線段端點的位置不確定時，既不能利用中位線證，也不能證平行四邊形，因為這些思路都需要確定線段端點的位置，這大大曾加了題目的難度，使我們感到困惑，那這種問題該如何找到突破口去解決呢？而我們學到的線面平行的性質定理常常被我們忽略，不知該如何應用於題目中，其實它恰恰是解決這類題目的靈丹妙藥！本文通過將直線與平面平行性質定理巧妙應用在含不確定位置的端點的線線平行問題中，避開不確定點的困擾，直接簡單，快速的解決問題。

關鍵詞：立體幾何；線線平行證明 ；直線與平面平行性質定理；不確定點

 

線線平行關係是中學幾何裡一個非常重要的圖形特徵，像線面平行的證明，面面平行的證明等都會用到線線平行的關係，還有很多求解的問題中也常常涉及到線線平行的證明。對於線線平行的證明來說，在高中階段我們常用到的重要的方法有與中點有關的可以用中位線證，長度相同的可以選擇證平行四邊形，但有一類線線平行的問題常常困擾著我們，那就是當要證的線段端點的位置不確定時，既不能利用中位線證，也不能證平行四邊形，因為這兩種思路都需要線段有確定的位置，那這種問題該如何解決呢？

在人教版數學必修2第二章中，我們學到了線面平行的性質定理：

定理  一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

從定理中我們發現，用這個定理來證明線線平行，只需證明有一條直線平行於一個平面且又含於另一平面，那麼它就和兩平面的交線平行。而這條交線的確定位置在這裡是不需要的，也就是說，這個定理就是我們證明線段端點位置不確定時的最佳解決方案。

下面舉例來說明用法：

題境分析：本題看似簡單的四稜柱中證明線線平行問題，但細究題意會發現所證的直線中位             置是不確定的，這使這道看似簡單的題增加了難度。但若此時用線面平行的性質             定理，便會巧妙避開點位置的不確定性，輕鬆突破難點!



     解題關鍵：本題從題型來看是證明線線平行，但關鍵在於所證直線位置不可求，也不確定，這時選用線面平行性質定理，先從所證直線中位置確定的直線入手，證該直線含於一個平面又平行於另一平面，而兩平面的交線恰好是要證的另一位置不確定的直線，這樣便可得到線線的平行關係。該題的突破關鍵是找準兩個平面，使得它們的交線恰好是需證的位置不定的直線。這樣我們就可以避開位置不確定的直線關於位置的判斷，直接證明它的平行關係。

我們延這個思路繼續來看



題境分析：

要證線面平行自然而然想到證線和面內的一條直線平行，即要證和的平行，於是想到證四邊形為平行四邊形，即要證,而點的位置是不確定的，這讓我們想到了上例，也就是說需要通過線面平行的性質定理才能得以解決。



此方法也可用於所證的兩條線段端點都不確定！


 

   在與平行相關的計算題中同樣適用！


 通過以上例題我們可以感受到，直線與平面平行的性質定理在解決含不確定點的線線平行問題中的靈活應用，可將較難的含不確定點的線線平行問題變得簡單而且易懂易操作，具有很強的針對性與實效性，可廣泛應用於解題中。

*本文系2017年甘肅省教育科學 「十三五」規劃「隴原名師」專項課題「中學數學教學中圖形教學的策略及效果研究」（立項號：GS[2017]MSZX057）的成果之一。 

 

 

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