十進位是個神馬東西？我們的孩子真的懂十進位嗎？
很多人或許會覺得上面的話題危言聳聽。即使我們的學校教育再不濟，也不至於學生會不理解十進位吧？然而事實確實令人震驚。
四年級數學班的一開始，我們學習」pattens」（模式、規律）。在說到上面的標題問題之前，首先來談談我對本章的備課體會。熟悉分析數學的讀者知道，微積分的理論前提是極限理論（實分析的極限理論前提實數公理體系），所以數學分析一上來就要研究序列（實數分析僅限實數序列，抽象分析是任意序列）。這也就是我講的我們的數學雖然慢、「簡單」，但是絕不膚淺，是高級別數學的奠基性內容。前三課認識擴展序列，後三課開始讓大家認識到光靠序列表達太麻煩，原來可以把序列用等式和符號表達，從而從序列過渡到了初步認識字母表達式和初步的字母運算。因此我們可以看到，不同於一些課外機構將會做找規律的題目作為最終目標，我們的內容不僅引進和認識規律和模式，更將其作為中介過渡到更重要的字母運算和代數思維。僅僅將考題作為上課內容的最大問題在於考題並不是為了教育目的而設計的，教育內容應該首先基於教育研究、服從孩子的認知發展規律和孩子的承前啟後的學習（承接孩子已經知道的，通過精心設計和挑選的內容和教學法達到教學目的，並為以後的深入內容打下基礎）。
正如前面的公眾號文章跟大家介紹的那樣，我們的patten一點也沒有魔法盒，也沒有不完全歸納法下的唯一答案。第一課先讓大家回顧「非數字規律」，比如床單上交錯出現的圖形，教室裡有規律的圖形等；第二課開始接觸「數字規律」，通過加法、減法或者加減交替形成數字的規律，不僅複習了加減法，還將規律應用到了現實應用場景裡。到了第三課，我們的教學主題是「序列」（Sequences）要求擴展序列和觀察序列的特徵。從這一課開始，同學們開始感受到了patten和sequence絕不普通，是重要的數學對象。
上面是我們課堂上的一個觀察任務，從4開始，每一項後面+5，大家很容易寫出各項。同樣，大家也很容易發現每個數末尾交替出現4和9 。然而，下一個問題讓大家徹底沒了方向。這個問題就是：為什麼？
應該說，這並不是因為小時候被老師告誡「凡事要多問幾個為什麼」的影響，而是數學系的訓練使然。在純粹數學的眼光看來，一切論斷（claim）在未被證明之前一定要存疑，除非有邏輯徹底的證明，否則不會被接受為數學事實。我參加工作以後發覺，能做到這種邏輯徹底性的人幾乎沒有。大量的情況是邏輯似是而非，經不起推敲，或者邏輯不一致（白話叫做感情用事）。原本這個為什麼問出以後，我設想有幾種答案，大家可以評判，加深對過去學過的數學概念的理解和腦子裡建立各種概念的聯繫。
可是，結果等了一分鐘，沒有人可以給出任何解釋。我急了，說大家「要有四年級同學的尊嚴，因為一年級都學過了」，然後分解問題：大家先來解釋一下為什麼9+5=14，個位數是4？19+5=24，個位數還是4？」這還用問嗎？9+5本來就是14啊」（請配崩潰圖）且不說小孩不懂循環論證等於什麼也沒幹，我終於明白了問題所在：他們壓根兒不懂十進位！不懂位值！但是這怪不得孩子們，因為家長自己也說不出來，問老師，老師也未必說得出來！因為一直以來，「位值」在課本裡，在大綱裡是幾乎沒有位置的。課時大量分配給了計算和「技巧」，而沒有重視數學上更基本的「位值」。這也部分解釋了我們學生的創新力和解決新問題能力的不足：長期不重視底層邏輯和基本概念，自然不能將邏輯遷移到新問題上，為新問題建立新概念，進而為解決問題創造新方法。
最後來揭曉答案：4、9、4、9交替出現的原因。首先我們的前提是「印度-阿拉伯數字系統」，所有的整數使用的符號只有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，這個系統的計數特點是從0開始往上數數，超過了9以後，在左邊增加一位（右邊也可以，僅僅是習慣記法，因此10也可以是01，1546也可以是6451）但是要回答我們的問題就必須要明白9以後一定要變0，然後再往上數。所以無論序列的數字如何，個位是4的時候+5就是往上數5，個位必然是9；個位是9的時候9+5必須理解為9+1+4，9+1個位重新變為0，然後往上數4，於是個位重新變成了4 。能夠說出上述解釋（證明）的需要對進位和位值有深刻理解。由於缺乏重視，我們的孩子也就失去了學習「重要的數學」的機會。我們拯救不了所有人，只能先從迪卡的孩子們開始。
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