為什麼廣義相對論無法被完全精確求解?

2021-01-07 火星科普

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根據牛頓力學和萬有引力定律，宇宙是一個完全確定性系統。基於牛頓物理學，宇宙中每一個粒子的質量、位置和動量都是確定的，我們能預知任意一個粒子在未來任何時刻的狀態。

從牛頓到愛因斯坦，物理學發生了革新性的變化，愛因斯坦的相對時空觀替代了牛頓的絕對時空觀。但從理論上講，愛因斯坦的方程也是確定的：如果能知道宇宙中每個粒子的質量、位置和動量，就能計算出任何粒子在未來的狀態。

儘管物理學家可以寫出控制這些粒子在牛頓宇宙中如何行為的方程，但在廣義相對論控制的宇宙中，物理學家無法做到這一點，因為廣義相對論永遠也無法精確解出來，這是為什麼呢？

牛頓物理學

在牛頓物理學中，宇宙中的每一個有質量的物體都會對其他物體施加一個明確大小的引力。只要知道物體之間的距離以及它們各自的質量，根據萬有引力定律很容易就能計算出引力。這個力也能告訴我們物體如何在宇宙中運動（因為牛頓第二運動定律F=ma），這樣我們就能確定宇宙如何演化。

愛因斯坦物理學

但在廣義相對論中，情況要複雜得多。即使能夠知道每個粒子的位置、質量和動量，以及它們所在的特定相對論參考系，那也不足以確定事物是如何演化的，因為愛因斯坦理論的結構太複雜了。

根據廣義相對論，決定物體如何在空間中運動以及加速的不是作用在物體上的合力，而是空間本身的曲率。這就會引發一個問題，因為決定空間曲率的是宇宙中所有的物質和能量，這包含的遠不止有質量粒子的位置和動量。

與牛頓引力理論不同，廣義相對論表明，任何有質量物體之間的相互作用也起著一個作用——它們也有能量，這一事實意味著物體也能讓時空結構變形。當兩個有質量的物體在空間中加速運動時，還會產生引力輻射。這種輻射不是瞬時的，而是以光速向外傳播，這就是引力波。

廣義相對論的求解

儘管我們可以很容易地寫出控制牛頓宇宙中任何系統的方程，但在廣義相對論中，這變得十分困難。由於有許多因素會影響空間本身如何彎曲，或者隨時間以其他方式演化，這使得物理學家甚至無法寫出描述一個簡單宇宙的方程。

舉個例子，想像一個可能存在的最簡單宇宙：一個空無一物、沒有物質或能量、永遠不會隨時間而改變的宇宙。這可以說是最簡單、最特殊的宇宙，其空間是平坦的歐幾裡得空間。

然後，取一個點質量，把它放在這個宇宙的任意地方。突然之間，時空發生了巨大的變化。

無論距離那個質點有多遠，空間都會發生彎曲，此時不再是平坦的歐式空間。如果距離質點離得越近，空間就越快地「流向」那個質點的位置。此外，如果距離質點足夠近，將會穿越事件視界，再也無法逃脫出來，即使速度達到光速也無能為力。

這個時空比真空要複雜得多，而我們所做的只是向其中增加了一個點質量。這是物理學家在廣義相對論中發現的第一個精確的解：史瓦西解，它描述的是一種沒有自旋的黑洞，又稱史瓦西黑洞。

廣義相對論的精確解

在廣義相對論創立之後的一個世紀裡，物理學家找到了不少的精確解，但它們並沒有複雜得多。它們包括：

（1）理想流體解，流體的能量、動量、壓力和剪切應力決定了時空曲率；

（2）電真空解，重力、電場和磁場可以存在，但不存在質量、電荷或電流；

（3）標量場解，包括宇宙常數、暗能量、膨脹的時空；

（4）具有質量、自旋的克爾黑洞解，具有質量、帶電荷的雷斯納-諾德斯特姆黑洞解，具有質量、自旋且帶電荷的克爾-紐曼黑洞解；

（5）具有點質量的流體解，例如，史瓦西-德西特空間。

這些解都非常簡單，它們都不包含我們一直考慮的最基本引力系統：一個由兩個質量靠引力結合在一起的宇宙。

事實上，廣義相對論中的二體問題不能被精確解開。在存在不止一個質量體的時空中，確切的解析解是不存在的，這並不是還沒算出來，而是物理學家認為這種解是不可能存在的。

物理學家所能做的就是做出假設，或者挑出一些高階近似項，或者研究一個問題的具體形式，並嘗試用數值方法來解出方程。有其是在20世紀90年代及以後，數值相對論的發展使得天體物理學家能夠計算和確定宇宙中各種引力波信號的模式，包括兩個正在合併黑洞的近似解，這使得LIGO和Virgo的引力波探測成為了可能。

也就是說，物理學家至少可以近似地解出廣義相對論，並對宇宙做出合理的描述。物理學家可以把在一個不均勻的、充滿流體的宇宙中所發生的事情拼湊在一起，從而了解密度過高的區域如何增長，密度過低的區域如何收縮。

無法完全求解的廣義相對論

如果考慮到廣義相對論的其他因素，情況將會變得極為複雜：

（1）空間的曲率是不斷變化的；

（2）每個質量都有自己的能量，這也會改變時空的曲率；

（3）在彎曲空間中加速運動的物體會輻射出引力波；

（4）所有的引力信號都會以光速運動；

（5）一個物體相對於其他物體的運動會導致相對論變換，包括長度收縮和時間膨脹。

當把所有這些都考慮進去，即使是相對簡單的時空，也會導致方程變得十分複雜，以至於物理學家無法找到愛因斯坦場方程的解析解。

廣義相對論的引力場方程包含了10條二階非線性微分方程，這使得精確求解變得幾乎不可能。「現存的大多數微分方程都無法求解，大多數可以解的微分方程你也解不出來」，這是對廣義相對論的最好描述。儘管如此，物理學家仍然可以做一些近似求解，讓我們能夠窺探宇宙的秘密

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