中國學生為什麼數學那麼好?

中國學生為什麼數學那麼好

　　PISA2012上海學生總體表現

閱讀、數學和科學領域平均成績均列第一

　　圖三 某個人行走的腳印

　　圖四 各樂隊1月至6月的CD銷量

　　圖一

　　圖二

■上海市教育科學研究院 顧泠沅

在各種國際測試與比賽中，我國學生紮實的數學基礎和高強的數學應用能力，已引起外部世界對中國數學教育的濃厚興趣。如果說中國中學生隊自1990年以來18次獲國際數學奧林匹克競賽（IMO）團體冠軍不代表所有學生的數學表現，今天公布的以數學為主要領域的2012國際PISA測試結果表明，上海學生整體的數學表現，同樣達到了頂級水平。

數學表現的突出成就

這次測評分數學、閱讀、科學三個領域，上海都位列第一，三者平均得分高出OECD各國（地區）平均分分別為119分、74分和79分，其中數學的優勢特別明顯。測評把數學素養界定為三個方面——從各種背景的問題情境抽象為數學問題的表述能力，從數學問題得出數學結果的運用能力，對此結果放置於現實情境中去的闡釋評估能力。它包括數學式的推理，以及使用數學概念、步驟、事實和工具來描述和預測現象。上海學生無論哪方面都處於領先地位，數學表現平均總得分為65個國家（地區）的首位，達到613分。

從學生精熟度水平來看，無論是等級分類，還是內容分量、過程分量等各項，上海學生均處於世界首位。如高水平精熟度，即掌握概念、推理、建模等高層次數學思維方法的學生，佔總學生數的55.4%，OECD平均僅佔12.6%。低水平精熟度，即沒有掌握適應未來生活和工作所必需的基本數學能力的學生僅佔3.8%，OECD平均則為23%。

如上表現，是30多年來上海數學教育重質量、抓均衡的一項重要成就。

主要學習特徵與「秘密」

該項測試，除了學業成就，還對學生學習的機會、學習者自身的特徵、學校均衡與教育公平，以及包括師生關係在內的學校因素的作用，進行了較為全面的調查和考量，試圖據此解讀取得成就的「秘密」。從本次測評有關學習特徵所得資料看，至少可有如下一些角度可供研討。

第一，重視具有內在邏輯主幹的正式數學的學習，講求漸進的順序、內容的重點和有臺階的攀登。所謂正式數學，主要指概念、法則、定理演繹體系的數學。本次測試，專列「學習的機會」一項，將機會區分為接觸應用數學的機會、接觸正式數學的機會等類別。從學習者接觸正式數學與應用數學的機會看，上海學生接觸正式數學的機會最高，且差異很小。數據還顯示，學生接觸應用數學的頻率與數學成績呈負相關；相反，接觸正式數學越多，成績越高，這是一個值得探討的話題。正式數學教與學的特點在於學科內在邏輯主幹清晰，利於把握重點循序漸進，從而引導有計劃的攀登。

有意思的是，PISA測試成績最高的幾個東亞國家大多集中在高正式、低應用象限，新加坡值得注意，測試成績高，但處在高正式、高應用象限。很多發達國家分布在雙高象限，如俄羅斯、美國等；測試成績排位在前，但處於高應用的國家，如荷蘭、加拿大、德國、澳大利亞、紐西蘭、法國等，這些國家（地區）的經驗，我們必須認真學習與借鑑。

第二，重視從所犯的錯誤中學習，講求練習的精細安排、注重變式與化歸以及針對性的糾錯指導。據數據統計，上海的學生校內每周上課時間平均28.2小時，位列65個國家（地區）第9，而課外作業時間每周平均13.8小時，位列第一，57.3%的學生作業（各門學科）超過11小時，其中數學的作業是大頭。教師的時間、精力有很大部分放在講解數學問題、批改指導練習與作業上。

本次測試調查「數學老師幫助我們從所犯錯誤中學習」時，學生回答「總是或幾乎總是」和「經常」的百分比，上海為74.2%，比OECD的均值60.2%高出14個百分點，有明顯正差距。這種從錯誤中學習，對低端學生來說，及時的、針對性的糾錯練習與指導，對掌握基礎知識、基本技能成效顯著。對中等以上甚至高端學生，有梯度的變式、探索性問題的化歸，通過精細的分層次安排，十分有利於學生錘鍊出好的數學學習方式。

第三，重視激發學生學習數學的內部動機，講求堅持性、學習興趣和解決問題的自信力。學習動機分外部的激勵和內部的自驅兩大類。上海學生的外部動機水平與OECD平均水平相當，而學習數學的堅持性和學習興趣顯著優於OECD平均值，而解決數學常見問題的自信水平達到了本次測評的最高值。我國的課堂，紀律好，極少有吵鬧和搗亂，數學課的紀律風氣指數高，對學生認知的激發比較好，學生學習數學很勤勉、善堅持。上海學生的數學自我效能感比OECD平均值高出一個標準差，但對自己能力的評價並不高，較多學生有焦慮，女生更甚。

存在問題與後續討論

成績導致自信，問題使人清醒，而成熟是看透了兩面之後的重新開始。讓我們不妨找一找這次測評中有哪些真實的差距。

第一，上海學生的課業負擔儘管正在著力減輕，輕負高質初見成效，但總體上還是偏重，尤其是課內練習密度高、課外作業時間長，使學生自由學習的時間與其他方面的成長空間相對匱乏。第二，從數學教學的角度看，我們特別關注知識、技能等正式數學，卻對應用數學的重視不足，與不少西方發達國家有較大差別。我們較多關注練習糾錯，少了思考和發現的過程，如回答下列事件是否經常發生時，「老師布置需要我們花很長時間思考的問題」，上海佔比31.1%，OECD均值53.3%；「老師會讓我們做一些不能立即發現明確解題方法的題目」，上海佔比31.7%，OECD均值41.6%，有明顯負差距。第三，從數學過程分量精熟度水平看，儘管表述、運用、闡釋都位居第一，但長於表述、運用得到結果，至於對結果的實際解釋、評價與預測相對要差一些，這也值得注意。

我國的數學教育源遠流長。西方有《幾何原本》為代表的歐幾裡得公理推演體系，我們有《九章算術》實用問題分類歸納的算法走向。這兩種思維各具特色，一直發展到當代公理化與算法化的兩大分野，它們之間的融會，也許能為數學教育新體系的建立提供思路。

新中國成立之初，老一輩教改先驅基於國際眼光，提出支配數學教育目標、材料和方法的三大原則：實用性原則、論理（推理）的原則、站在學生立場的心理的原則，而且提出三大原則必須統一，心理性和實用性應該是論理性的嚮導；選擇教材不應該先將實用性（今稱應用數學）和論理性（今稱正式數學）分別採取、然後合攏，數學的真理性具有向實在進展和內部邏輯結構的兩面，兩面不會分道揚鑣、各自存在。

20世紀80年代以來，一方面是事實上中國學生的數學表現明顯優於西方學生，另一方面西方研究者認為中國學生的學習環境（如應試壓力）不太可能產生好的學習成績，如此巨大的反差，在世紀之交竟以「悖論」的形式呈現了一個國際關注的熱點：華人如何學習數學。上述看似矛盾的結果引出了深入的討論。中國學生為什麼數學那麼好？有人認為是由於有好的課程邏輯，有人認為是由於教師的有效教學（三級教研系統注重教學行為中扎紮實實的反思），也有人認為是華人家庭、社會特有的習慣與文化支撐。箇中原因，毫無疑問足以擺到必須深究的議事日程上來。

（華東師範大學博士生顧非石協助整理本文）

PISA數學例題

在一場搖滾音樂會中，有一個長100米、寬50米的長方形觀眾場地。音樂會票已完全售出且滿場都站滿了歌迷。下列哪個是對參加本場音樂會總人數的最佳估計？

2000，5000，20000，

50000，100000　

上圖（圖三）呈現的是某個人行走的腳印。步長P代表兩個連續腳印後跟的距離。公式n/p=140給出n與p之間的大致關係：n=每分鐘的步長；p=以米計步長。　　

問題一：如果此公式適於Heiko的行走且他每分鐘走70步，Heiko的步長是多少？　　

問題二：Bernard知道他的步長為0.80米。此公式適於Bernard的行走。計算Bernard的行走速度，以米/分鐘及公裡/小時為單位。呈現你的過程。

一家比薩店製作了兩個大小不同但相同厚度的圓形比薩餅。小的直徑為30釐米，價值30zeds（一種貨幣單位）；大的直徑為40釐米，價值40zeds。哪個比薩更值錢？給出你的推理。

樂隊4U2Rock和The Kicking Kangaroos在一月份時發行了新CD。二月份時樂隊No One's Darling和The Metafolkies也發行了新CD。下圖（圖四）展示了各樂隊1月至6月的CD銷量。

問題一：樂隊The Metafolkies在四月份銷售了多少張CD？

250，500，1000，1270　　

問題二：樂隊No One’s Darling在哪個月的銷售量首次超越樂隊The Kicking Kangaroos？

沒有，3月，4月，5月

問題三：樂隊The Kicking Kangaroos的CD銷量從2月至6月一直下降，如果仍以同樣的下降趨勢發展，估計7月份的銷量會是多少？

70CDs，370CDs，670CDs，1340CDs

PISA閱讀例題

圖—顯示位於北非撒哈拉查德湖的水深改變狀況。約在公元前20000年，最後—次冰河時期，查德湖完全消失了。直至公元前11000年它又再次出現。現今湖水的深度仍然跟公元1000年大致相同。

圖二顯示撒哈拉巖石藝術圖(在山洞石壁上發現的古代圖案或圖畫)和野生動物的變化樣式。

依據前面有關查德湖資料，回答下列問題。

(—)查德湖目前的湖水深度是多少?

1.約2米 2.約15米

3.約50米4.完全消失不見5.並沒有提供資料

(二)圖—所描繪的圖片大約起自何年?

(三)為什麼作者選擇這—年作為開始?

(四)圖二是根據以下哪—項假設來製作的?

1.巖石藝術圖上的動物在繪製的時候就已經存在。

2.繪製動物的藝術家技巧十分高超。

3.繪製動物的藝術家曾到很多地方旅行。

4.沒有人想要飼養在巖石藝術圖上所描繪的動物。

(五)收集圖—和圖二的信息回答:犀牛、河馬和野牛從撒哈拉巖石圖中消失是起於:

1.最近—次冰河時期開始時。

2.查德湖湖水最深的中段時期。

3.查德湖湖水深度持續下降已—幹多年後。

4.不間斷乾旱時期開始時。

PISA數學素養測評的新發展

■朱小虎

作為全世界影響最大的學生學業能力測評項目之一，PISA對素養的測評反映了大多數國家比較一致的認識，對我國基礎教育改革與發展具有重要的借鑑意義。

作為PISA測評的三個主要領域之一，數學素養分別在PISA2003和PISA2012作為主要領域進行測試。在PISA2003的基礎上，PISA2012數學素養的概念及測評發生了一些新的變化。

1.重視數學學科特徵

「素養」是PISA測評的核心概念，指學生應用所學知識和技能，分析、推理和進行有效溝通，解決和解釋各種不同情境中問題的能力。

在PISA2003中，數學首次作為主要領域進行測評，數學素養被定義為「個體識別和理解數學在世界中所起作用的能力，做出有根據的數學判斷的能力，以及作為一個關心社會、善於思考的公民，為了滿足個人生活需要而運用和從事數學活動的能力」。在PISA2012中，數學素養是「個體在各種背景下進行數學表述、數學運用和數學闡釋的能力。它包括數學式的推理，以及使用數學概念、步驟、事實和工具來描述、解釋和預測現象。它幫助個體認識數學在現實世界中所起的作用，做出有根據的判斷和決策，以成為具有建設性、參與意識和反思能力的公民」。

比較兩個界定，可以發現PISA 2012更強調數學的學科特徵。

2.問題解決步驟替代「能力群」

PISA2012的測評框架與之前測評框架基本一致，數學的情境維度依然劃分為「個人的、職業的、社會的、科學的」四個主要類別。具體包含「變化和關係」、「空間和圖形」、「數量」以及「不確定性和數據」四個方面。

測評框架最大的變化是對數學過程的描述。PISA2003將數學過程區分為「再現」、「聯繫」和「反思」三個由簡單到複雜的「能力群」，PISA2012依據個體數學問題的解決步驟來劃分數學過程，包括數學化的情境表述、運用數學的概念、事實、步驟和推理，以及闡釋、運用和評估數學結果。而每個問題的解決階段，均涉及數學的基本能力。PISA2012將之前的8個基本數學能力重新歸納為7個，分別是交流，表徵，設計策略，數學化，推理和論證，使用符號化、形式化和技術性的語言和運算，使用數學工具。

3.新內容與新方法

積極主動地參與學習、較高的學習動機以及良好的自我信念是學生增長知識提高能力的基礎，也是終身學習的前提條件。PISA2012主要從三個方面考查了學生在這些方面的特徵及其與數學成績的關係。與PISA2003相比，動機方面新增了對學生學習堅持性、問題解決開放性、學習控制感三個指標；自我信念方面新增了數學自我概念、數學偏好兩項內容；在參與度方面，在學生對學校學習的態度方面新增了對學習活動的態度。

在調查學習者個體特徵時，PISA引入了「輔測定錨法」以減少因個體評價標準不同而造成的自陳式問卷國際可比性差的問題。例如，上海學生數學自我概念指數為-0.05，低於OECD平均。但用輔測定錨法矯正後，上海學生數學自我概念指數為0.29，顯著高於OECD平均。

（作者為國際學生評估項目PISA中國上海項目組成員、上海市教育科學研究院普通教育研究所研究人員）