從黃昆方程到極化激元——黃昆方程的歷史意義和現實意義

　　作者：王炳燊（中科院半導體所）、葛惟昆（北京大學）

　　2019年是黃昆先生誕辰100周年。朱邦芬院士曾將黃昆的貢獻概括為：一本書、一組方程、一個理論、一種散射、一個模型。而先生自己最為滿意的一項工作是黃昆方程。黃昆方程描述了離子晶體中晶格振動的聲子與電磁場的相互作用，這改變了人們關於電磁模在晶體介質中傳播的思維方式，並開創了後來的極化激元理論。謹以此文致敬黃昆先生。

　　在黃昆先生誕辰100周年之際，作為黃先生子弟和親近後輩，我們緬懷先師的輝煌業績，重溫他對凝聚態物理學的卓越貢獻。

　　黃昆（1919.9.2-2005.7.6），物理學家，中國固體和半導體物理學奠基人之一。

　　黃昆先生生前多次說過，他自己最滿意的工作有兩件，第一件就是1950年對離子晶體中的長波光學聲子和宏觀電磁場的相互作用的研究，即黃昆方程（有時也稱Born-Huang方程，即玻恩-黃方程[1]），另一件則是與晶格弛豫有關的多聲子光躍遷[Huang-Rhys參數，是黃昆與妻子A. Rhys（中文名李愛扶）合作的成果]和無輻射躍遷理論。

　　黃昆先生對物理學的傑出貢獻，按朱邦芬院士的歸納[2]，可以概括為

　　一本書：玻恩、黃昆的《晶格動力學理論》[3]，這本書被國際物理學界奉為經典；

　　一組方程：即本文重點介紹的黃昆方程[1]；

　　一個理論：黃-裡斯（Huang-Rhys）關於多聲子躍遷的理論[4]，以及他後來統一的關於多聲子無輻射躍遷的理論[5]；

　　一種散射：關於晶體中雜質引起的X射線散射——黃散射[6]；

　　一個模型：關於半導體超晶格的黃-朱模型[7]。

　　黃昆先生的工作博大精深，本文僅集中討論黃昆方程出現的歷史背景以及這一組方程的方法和結論對固體物理學（即現在統稱的凝聚態物理學）在當時和對後來發展的重大意義。

　　1

　　黃昆方程

　　上世紀40年代，固體的電子態理論才起步不久，對於實際材料的各種性質的理論計算才剛剛開始。因此對於固體的物理性質的理論研究，都是從理論上認識比較清楚的離子晶體開始。黃昆先生那一代物理學家，都注意到介電函數是關鍵的物理量，因為它不僅決定物質的電學性質，而且決定物質的光學性質。對許多純淨的離子晶體而言，在可見光波段它們是透明的，而在紅外波段則有許多豐富的現象。而這又與固體的一類晶格振動即光學聲子（即晶格內不同原子、在離子晶體中是正負離子的相對振動）譜緊密聯繫。

　　固體由若干原子（原子實與電子）按一定方式組合而成，這些粒子相互作用，形成一個巨大的多粒子系統。固體晶格振動的簡正模能量量子被稱為聲子。離子晶體中正負離子相對振動形成長光學波，質心的振動形成長聲學波。| 圖片來源：維基百科

　　黃昆方程正是把光波與光學聲子關聯起來。一開始人們沒有意識到它的重要價值。一個真實的故事是，當黃昆方程的論文投稿時，審稿人認為該文只是重新證明了著名的Lynddan-Sache-Teller關係[8]，即縱光學波頻率 ωl和橫光學波頻率 ωt之間的關係：

　　其中 ε∞和 ε分別為高頻（頻率遠高於聲子頻率）和靜態（ω=0）的介電常數。審稿人堅稱黃昆的論文只是LST關係的另一種證明而拒稿。幸虧黃昆先生的老師莫特教授（N.F.Mott，1977年獲得諾貝爾獎）了解這篇文章的重要意義，親自出面推薦才得以發表。

　　LST關係把聲子的兩種本徵頻率和作為宏觀可測量的介電常數聯繫起來，而不需要離子晶體內部相互作用的細節，因此是一個普遍的關係，具有重要的意義。

　　那麼黃昆先生的工作與LST關係的工作有什麼不同呢？

　　從具體的物理圖像對應的基本原理出發，而不是跟隨別人已有的工作，是黃昆科研實踐的一個顯著特點，也是他能夠成功原始創新的重要因素。黃昆天才地把電場E和磁場H所滿足的麥克斯韋方程和光學聲子的振幅w的動力學方程聯合起來，他所提出的光學聲子振幅的動力學方程為

　　這就是著名的黃昆方程，它把光學聲子的振動動力學與晶體的極化和外加電場（即光波中的電矢量）巧妙而合理地聯繫起來。這組方程在本質上與許多重要的物理方程一樣，不是推導的結果，而是基於高度的洞察力，對物理原理的抽象概括。牛頓方程和薛丁格方程也不例外。這個方程與麥克斯韋方程相聯合，經過細緻的推導，最後得出，對於縱波，有k//E//w，同時k·D=k·(E+ 4πP)=0，進而得出：

　　這個結果和LST 關係式完全一致，但出發點完全不同。

　　黃昆的新貢獻更在於，他進一步引入了電磁波傳播的遲緩（Retardation）效應，即離子之間庫侖相互作用不是瞬時發生的。此時必須考慮麥克斯韋方程組中的其它幾個方程：

　　所得到的解表明，光波只受到電子（速度為）以及LO和TO聲子折射的作用。其結果是縱向光學聲子LO不受影響，而橫向光學聲子TO在其色散曲線與光子色散曲線相交之處（參看附圖）形成共振、產生強烈的相互作用，由此得到一種新的色散關係：

　　這是前人從未得到過的結果，如圖1所示。橫向光學聲子TO的特殊性，恰好反映了光波的橫波性質。

　　光波與晶格振動，參見 Born & Huang 原著。圖中兩條水平的虛直線表示（上）縱向光學聲子LO和（下）橫向光學聲子TO的色散關係。在這兩條線之間不存在極化激元，光波幾乎完全被離子晶體反射，這也就是所謂的剩餘射線帶。斜的虛直線表示光子的色散關係。兩條實曲線表示極化激元的色散關係。在橫向光學聲子TO與光子的色散曲線相交的點附近，光子與聲子形成共振，發生強烈的耦合。

　　黃昆的結果，完美地表現了離子晶體的紅外色散特性，還完美地解釋了所謂的剩餘射線帶（reststrahlen，即晶體中光的禁帶，表現為全反射）帶的物理起因。他指出，如果把上圖旋轉90度，就直觀地解釋了色散現象。兩條豎直的虛線之間就是剩餘射線帶。

　　2

　　從黃昆方程到極化激元

　　黃昆方程最重要的意義，可以用美國著名物理學家E. Burnstein[9]在第17屆國際拉曼會議上對黃昆的評價來概括：「Huang has changed our way of thinking about propagating EM mode in crystalline mediums」（黃昆改變了我們關於電磁模在晶體介質中傳播的思維方式）。其實這裡的介質，不止是離子晶體，而是包含了一切有光在其中傳播的介質。由於黃昆方程直接利用了電場與偶極子的相互作用，它也同樣適用於一切具有偶極矩的元激發與光波的相互作用，具有普遍意義。這也正是後來光波與激子（exciton）耦合的極化激元（polariton）的原始物理基礎。

　　在人們傳統的理解中，光進入固體以後，就以真空光速除以介電常數的速度傳播，再通過電場的極化作用，激發光學聲子或其它元激發。而現在黃昆指出，不是這樣的，光進入固體後，就與貢獻介電常數的元激發（不只限於橫偏振光學聲子）相互作用，而耦合在一起傳播。並且對同一個波矢，會存在兩個頻率的波，其中每一個波的電磁波和機械振動成分和相應的能量所佔的比例隨頻率變化。特別是，橫、縱元激發的頻率不同，在這兩個頻率之間，電磁波不能傳播（如果不考慮元激發的色散）。這是一個全新的物理圖景，徹底顛覆了光波獨立傳播、不與元激發耦合的傳統觀念。這一思維方式的轉變，在各種物理現象中具有普遍的和重要的意義。黃昆方程也使人們對介電常數的意義有了更深入的理解，達到一個新的高度；而且這樣表示的介電常數，也與後來由嚴格的線性響應理論導出的完全一致。

　　必須指出，雖然黃昆方程組是以經典電動力學和經典力學來表述的，但是其實質內容和結論與量子力學和量子方法的表述完全一致。J. Hopfield[10]在1958年的著名的關於光子與激子耦合的工作就證明了這一點。激子與光子耦合的色散曲線與附圖所表示的完全一致，只是縱橫聲子變成縱橫激子。實際上，把黃昆方程開創的這種電磁波（光子）與晶格振動（聲子）的耦合予以量子化，就成為一種新的準粒子。 Hopfiled[10]在1957年命名為，polariton中文一般譯為為極化激元（有人提議翻譯成電磁耦合子，黃先生自己在私下則表示應當稱為色散子，因為它完整地描述了固體的色散），現在甚至出現了polaritonics的名詞，儼然已經成為一門新的子學科，可見其學術和應用上的巨大影響。由於黃昆在論述過程中已經成功地把宏觀電場和微觀電場分離，因此，雖然固體中電子和聲子態的理論研究已經有了非常大的改變和發展，但黃昆方程仍然保持著它旺盛的生命力。

　　3

　　多種多樣的極化激元

　　物理學本質上是一門實驗科學，這樣一種物理上全新的圖景，不僅引起理論工作者的注意，也理所當然地吸引了實驗工作者希望用實驗證實極化激元的存在。C. H. Henry 和J. J. Hopfield[12]在磷化鎵（GaP）中用拉曼散射證明了極化激元的存在，準確測量了其中極化激元上下兩支的色散曲線，證明了極化激元理論的正確性。由於半導體中激子有的也有偶極距，因此也能形成極化激元，雖然激子具有明顯的色散，而原始的黃昆方程中沒有包括光學聲子的色散（一般色散比較小，這也是晶格振動愛因斯坦模型的由來），但是方程完全可以不加改變地擴展到包括色散的情形。J. L. Birman等人[13, 14]發展了激子-極化激元（exciton-polariton）的布裡淵散射理論，而在1977年，C. Weisbush等[15]在砷化鎵（GaAs）中進行布裡淵散射實驗，結果完全與理論符合，進一步證明了極化激元理論的正確性。

　　說到激子的色散，極化激元理論還給出了一個新的物理現象，即某一頻率的光進入固體後，在一定條件下會變為兩支快慢不同的波，被稱為附加波（additional wave）[16]，並引出了所謂附加邊界條件（additional boundary condition）問題，在一段時間內成為研究熱點。而光學聲子的色散所引起的半導體超晶格中與電磁波相互耦合所產生的複雜現象，直到上世紀80年代末才由黃昆先生本人和朱邦芬[7]提出的黃-朱模型予以闡明。

　　實際上，固體中能與電磁波耦合的運動模式不限於聲子和激子，相互作用也不限於光與電偶極子。在電偶極子被禁戒的情況下，與磁偶極子等都可以形成極化激元，因此在現代物理中，有各種各樣的極化激元，如自旋波極化激元等。極化激元這一概念已經深入到物理學的許多領域。比如等離激元（plasmon）、表面等離激元與電磁波的耦合、光子晶體等領域，都是這一理論的擴展。1972年，在義大利的Taormira召開了第一屆極化激元國際學術會議，由於時值文化大革命，黃昆沒能參加會議，但他在1951年的開創性工作得到與會者的高度評價，而他那篇二十多年前的文章被列入會議文集[17]，這幾乎是史無前例的。黃昆先生是當之無愧的極化激元理論的開創者。

　　1905年，玻恩把長聲學聲子的微觀參量和宏觀參量即彈性係數和泊松比聯繫起來，三十五年後黃昆方程把長光學聲子的微觀參量和宏觀的介電常數和色散性質聯繫起來。這是一個偉大的傳承和發展。同時，黃昆方程把縱光學長波振動與宏觀電場相聯繫，為後來H.Frohlich[18]提出著名的電聲子極性相互作用理論奠定了基礎。從更廣泛的視野來看，黃昆先生這件工作的重大意義還不止於此。一般來說，相互耦合的兩個系統是同質的，而極化激元是由聲子和光子兩種不同的玻色子耦合而成的，這是量子力學態疊加原理的體現，具有啟發性的意義。

　　時至今日，如果以「polariton」作為搜索詞來檢索，那麼將會得出成千上萬的結果。可以毫不誇張地說，任何與物質的光學性質相關的研究和技術應用，都與以黃昆命名的方程或遠或近地相關聯。黃昆方程和同樣由黃昆先生開創的與晶格馳豫相聯繫的多聲子光躍遷理論和無輻射躍遷理論，以及黃散射等一系列原始創新的理論成果，都是凝聚態理論發展道路上光輝的豐碑，是值得我們永遠紀念和學習的！

　　先生的音容笑貌依然歷歷在目，先生的諄諄教誨永遠牢記心中。謹以此文，獻給敬愛的黃昆老師和李愛扶（A. Rhys）師母！

　　作者對朱邦芬院士的寶貴意見深表謝意。

　　參考文獻

　　[1] K.Huang, Proc. Cambridge. Phil. Soc. 45(1049); pp452-462, K.Huang, Nature, 167, 79(1951); K.Huang, Proc. Roy.Soc. A208, 352(1951)

　　[2] 《黃昆》，朱邦芬，貴州人民出版社，2004.

　　[3] 《Dynamic theory of crystal lattice》, M. Born and K. Huang, Oxford University Press, 1954; 《晶格動力學理論》（中文版），馬克斯 玻恩，黃昆著，葛惟昆，賈惟義譯，北京大學出版社，1989.

　　[4] K. Huang, A. Rhys, 1847, London: Proc. Roy. Soc. 950, A (204), 406-424.

　　[5] 黃昆，中國科學，1980（23），949-954.

　　[6] K. Huang, London: Proc. Roy. Soc.,1947, A (190), 102-117.

　　[7] K.Huang, B.F.Zhu, Phys.Rev.B.38,13377(1988)

　　[8] R. H. Lyddane and K. F. Herzfeld, Phys. Rev. 54, 846 (1938); R. H. Lyddane, K. F. Herdeld and R, G. Sachs, Phys. Rev. 56, 1008 (1940).

　　[9] Burstein E, Proceeding of the 17th coference on Raman spectroscopy, International steering Committe ICORS 2000, New York, John Wile& Sons Ltd.(2000) p.40

　　[10] J Hopfield ,Phys. Rev. 112, 1555（1958）

　　[11] С.И.Пекар, ЖЭТФ Т.33, 1022 (1957) [Sov. Phys. JETP, 6, 785 (1958)]

　　[12] C.H.Henry and J.J. Hopfield, Phys.Rev.Lett. 15, 964-966(1965)

　　[13] B.Bendow,J.LBirman, Phys.Rev.B4,1678-1686(1971)

　　[14] W.Brenig, R Zeyler,J.L.Birman, Phys.Rev.B5,4617(1972)

　　[15] R.G.Ulbrich, C.Weisbush, Phys.Rev.Lett.; 33,865(1977)

　　[16] S.I.Pekar, Journal of Luminescence; Vol.20,No.4,333(1979)

　　[17] Burstein E, Martini F, Polariton, New York, Pergamaon Press (1972) Phys.Rev.Lett. 33, 865868 (1977)

　　[18] H.Frohlich, Proc. R. Soc. Lond. A 215, 291(1952)

　　來源：返樸

　　編輯：Quanta Yuan