解析幾何:直線的兩點式方程解題技巧

前面兩期的文章介紹了直線的點斜式方程和斜截式方程的解題技巧，本文介紹直線的兩點式方程的解題技巧。

一、基礎知識

1.直線的兩點式方程及推導：

設直線l過點P1(x1，y1)和點P2(x2，y2)，其中x1≠x2，y1≠y2，點P(x，y)為直線l上任意一點，則點P1、P2和點P三點共線，那麼任意兩點形成的直線的斜率k相等，如取點P、P1與點P1、P2，則有：k(PP1)=k(P1P2)，即：

(y-y1)/(x-x1)=(y2-y1)/(x2-x1);

整理得：

(y-y1)/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)；

我們稱該方程為直線的兩點式方程。

2.適用條件及局限：

在兩點式方程中，(y2-y1)和(x2-x1)做分母，因此y1≠y2,x1≠x2。y1≠y2就不能表示平行於x軸（或垂直於y軸）的直線，x1≠x2就不能表示平行於y軸（垂直於x軸）的直線。綜上所述，直線的兩點式方程不能表示平行於坐標軸的直線。

二、典型例題

例：已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，

(1)求BC邊的方程；

(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．

解：（1）因為B(5，－4)，C(0，－2)；

所以由兩點式方程得：(y+4)/(-2+4)=(x-5)/(0-5);

整理得：2x+5y+10=0.

（2）設BC的中點為D，則BC邊的中線為AD；

因為B(5，－4)，C(0，－2)；

所以根據中點坐標的計算公式得：D點的坐標（5/2，-3）；

所以直線AD的方程為：(y+3)/(2+3)=(x-5/2)/(-3-5/2);

整理得：10x+11y+8=0.

總結：在應用兩點式求直線方程時，特別要注意點的順序。

跟蹤訓練：若點P(3，m)在過點A(2，－1)，B(－3,4)的直線上，則m＝________.

參考答案：m=-2.

在高中階段，直線的兩點式方程的直接應用並不多，但是需要我們牢固掌握由任意兩點求直線斜率的方法，即這兩點的縱坐標之差比上橫坐標之差。這個知識點在圓錐曲線也有很重要的應用，即點差法。

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