《數學提高》圓的標準方程和一般方程

圓的標準方程：（x-a）²+（y-b）²=R²。圓的一般方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）。

標準方程

圓半徑的長度定出圓周的大小，圓心的位置確定圓在平面上的位置。如果已知：(1)圓半徑長R；(2)中心A的坐標(a,b)，則圓的大小及其在平面上關於坐標軸的位置就已確定(如下圖)。根據圖形的幾何尺寸與坐標的聯繫可以得出圓的標準方程。結論如下：（x-a）²+（y-b）²=R²

當圓的中心A與原點重合時，即原點為中心時，即a=b=0，圓的方程為：x²+y²=R²

圓的一般方程

圓的標準方程是一個關於x和y的二次方程，將它展開並按x、y的降冪排列，得：

x²+y²-2ax-2by+a²+b²-R²=0

設D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；則方程變成：

x²+y²+Dx+Ey+F=0

任意一個圓的方程都可寫成上述形式。把它和下述的一般形式的二元二次方程比較，可以看出它有這樣的特點：(1)x2項和y2項的係數相等且不為0(在這裡為1)；(2)沒有xy的乘積項。

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

圓的端點式：

若已知兩點A（a1,b1）,B（a2,b2），則以線段AB為直徑的圓的方程為（x-a1）（x-a2）+（y-b1）（y-b2）=0

圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r。

經過圓 x²+y²=r²上一點M（a0，b0）的切線方程為 a0·x+b0·y=r²

在圓（x²+y²=r²）外一點M（a0，b0）引該圓的兩條切線，且兩切點為A,B，則A,B兩點所在直線的方程也為 a0·x+b0·y=r²。