閉區間上連續函數的性質是高等數學中純理論證明題之一，很多同學不能理解。在此，小編將幾個性質利用圖形的方式來幫助同學們理解定理的內容。同時附有常考題型以及對應的解題思路，希望對大家有所幫助。
若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，則一定有最大值與最小值。
圖形解釋：在區間[a,b]上，函數f(x)是連續的，ξ1,ξ2處所對應的函數值即為整個區間[a,b]上的最大值與最小值。
若有最值怎可無界？？？
畢竟f(x)在閉區間上有m≤f(x)≤M，所以函數f(x)有界。
設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且f(a)與f(b)異號（即f(a)·f(b)<0），那麼在開區間(a,b)內至少有函數f(x)的一個零點，即至少有一點ξ(a<ξ<b)使f(ξ)=0 。
圖形解釋：零點定理就是找使得函數值為0的x的值，這樣的點可能有一個，也可能有多個，所以定理內容中出現的是「至少存在一點」。
補充：所謂根，即函數值為零時的x值。所以，以零點定理更為適用，此時，選擇恰當的區間，（兩端值為異號）是個關鍵。
已知函數f(x)在區間[0,1]上連續，且f(0)=0，f(1)=1，證明：至少存在一點ξ∈(0,1)使得f(ξ)=1-ξ。
解題思路：零點定理證明函數值為0，所以本題目需要構造函數F(x)=f(x)-1+x，區間為[0,1]，找出零點定理的條件應用零點定理來證明。
證明：令函數F(x)=f(x)-1+x在區間[0,1]上連續，
且F(0)=f(0)-1+0=-1<0；F(1)=f(1)-1+1=1>0
所以由零點定理知至少存在一點ξ∈(0,1)使得F(ξ)=0，即f(ξ)=1-ξ。
證明方程2x·x=1至少有一個小於1的正根。
解題思路：方程中構造函數思路為誰等於零誰為函數。所以本題需要構造函數f(x)=2x·x-1，在區間[0,1]上應用零點定理來證明。
證明：令函數f(x)=2x·x-1,則函數f(x)在區間[0,1]上連續，又f(0)=-1<0，f(1)=2-1=1>0,
所以由零點定理知至少存在一點ξ∈(0,1)使得f(ξ)=0，即方程2x·x=1至少有一個小於1的正根。
1.設f(x)在[a,b]上連續且a<f(x)<b,證明：在內(a,b)至少有一點ξ,使得f(ξ)=ξ.
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證明：令F(x)=f(x)-x,x∈[a,b],∵F(x)在[a,b]上連續
F(a)=f(a)-a>0,F(b)=f(b)-b<0
∴由零點定理知：至少存在一點ξ∈(a,b)使得F(ξ)=0
2.證明方程x3-4x+1=0在區間(0,1)內至少有一個根．
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證明： 函數f(x)=x3-4x+1在閉區間[0,1]上連續，又f(0)=1>0，f(1)=-2<0，根據零點定理，在(0,1)內至少有一點ξ，使得f(ξ)=0，即ξ3-4ξ+1=0(0<ξ<1)，這等式說明方程x3-4x+1=0在區間(0,1)內至少有一個根是ξ。
連續的函數在一個區間內的函數值肯定介於最大值和最小值之間。
圖形解釋：極值定理其實就是在所有函數值中選定一個值C之後，在定義域x即的活動範圍內，找一個x0值，使得f(x0)=C.
注意：零點定理是介值定理中的特殊情況。
補充：極值定理相比於零點定理而言更為一般，只需：1）區間的兩端為任意值，2）介值可以是一個區間中的任意值。 所以，介值定理更具有普遍意義，用途也就更廣泛。
已知函數f(x)在上連續，a<x1<x2<x3<b,試證：必存在ξ∈[x1,x2]使得:f(ξ)=[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3。
解題思路：介值定理關鍵的條件是值在函數對應的值域內，而值域的求解過程往往藉助最值性來表示，即只要證明出題目中所要證明的式子在最大值與最小值之間即可。注意介值定理一般情況下不需要構造新的函數。
證明：∵f(x)在[a,b]上連續
∴f(x)在[a,b]必定有界，設m≤f(x)≤M
∵a<x1<x2<x3<b
∴m≤f(x1)≤M，m≤f(x2)≤M，m≤f(x3)≤M
從而3m≤f(x1)+f(x2)+f(x3)≤3M，那麼m≤[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3≤M
由介值定理知：存在ξ∈(x1,x3)使得：f(ξ)=[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3
若 m=[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3或M=[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3，
即f(x1)=f(x2)=f(x3)
則存在ξ=xi(i=1,2,3)使得f(ξ)=[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3
綜上所述：必存在ξ∈[x1,x3]使得f(ξ)=[f(x1)+f(x2)+f(x3)]/3。
設函數f(x)在閉區間[a,b]上連續，且a<c<d<b。證明：在開區間內(a,b)至少存在一點ξ，使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ξ)，其中p，q為任意正常數。
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證明：因為f(x)在閉區間[a,b]上連續，且a<c<d<b
所以f(x)在閉區間[c,d]上連續，故f(x)在閉區間[c,d}上可取得最大值M和最小值m，即m≤f(x)≤M， x∈[c,d]所以m≤f(c)≤M，m≤f(d)≤M
又因p，q為任意正常數
所以pm≤pf(c)≤pM，qm≤qf(d)≤qM
所以m≤[pf(c)+qf(d)]/(p+q)≤M，
由介值定理可知，至少存在一點ξ∈(c,d)c（a,b），使得f(ξ)= [pf(c)+qf(d)]/(p+q)
零點定理與介值定理通常會和羅爾定理與拉格朗日定理聯立使用，綜合題目大家要先分清楚每一個定理所需要的條件以及針對的題型。
最後，送給大家一句話：只要功夫深，鐵杵磨成針！！！