對社會有重大影響的10大科學發現，勾股定理就是其中之一，被譽為數學中的明珠。早在4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差。迄今為止，關於勾股定理的證明方法已有500餘種，僅我國清末數學家華蘅芳就提供了二十多種精彩的證法，各種證法融幾何知識與代數知識於一體，完美地體現了數形結合的魅力。
據說，為了慶祝勾股定理的發現，畢達哥拉斯教派曾舉行過一次「百牛大祭」。然而我們卻很難設想，在生產力水平還相當低下的古代社會裡，這一定理的發現能夠在一代人的手中創造出一百頭牛的價值。可見，對現實生活最有功利價值的科學，起初並不產生於功利慾求本身；畢達哥拉斯主義者之所以要進行「百牛大祭」，只是由於他們堅信，通過勾股定理的發現，自己已經與神明更接近了一步。
在課本及課外書中勾股定理的證明，我們能夠品味各種拼圖，方法各異，妙趣橫生，證明思路別具匠心，極富創新。它們充分運用了幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關係，既具嚴密性，又具直觀性，深刻體現了形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特魅力。從勾股定理的證明我們不難得到兩種解題思維模型。
模型1 化難為易----面積法
例1．「構造圖形解題」，它的應用十分廣泛，特別是有些技巧性很強的題目，如果不能發現題目中所隱含的幾何意義，而用通常的代數方法去思考，經常讓我們手足無措，難以下手，這時，如果能轉換思維，發現題目中隱含的幾何條件，通過構造適合的幾何圖形，將會得到事半功倍的效果，下面介紹兩則實例：
【分析】（1）利用面積法解決問題即可．
（2）如圖2中，作CH⊥AB於H．由題意，AD＝2，BC＝BD＝3，AC＝4，利用面積法求出CH，BH，DH即可解決問題；
（3）如圖3中，用4個全等的直角三角形（直角邊分別為x，y，斜邊為z），拼如圖正方形．當x+y是定值時，z最小的時候，(x+y)/z定值最小，易知當小正方形的頂點是大正方形的中點時，z的值最小，此時x＝y，z＝√2x，由此即可解決問題．
【點評】本題屬於三角形綜合題，考查了正方形的性質，解直角三角形，完全平方公式，平方數公式等知識，解題的關鍵是理解題意，學會利用面積法解決問題，學會用數形結合的思想解決問題，屬於中考壓軸題．
模型2 從特殊到一般，從猜想到證明
例2．【發現】小慧和小雯用一個平面去截正方體，得到一個三角形截面（截出的面），發現截面一定是銳角三角形．為什麼呢？她們帶著這個疑問請教徐老師．
【體驗】（1）從特殊入手徐老師用1個鉚釘把長度分別為4和3的兩根窄木棒的一端連在一起（如圖AB＝4，AC＝3），保持AB不動，讓AC從重合位置開始繞點A轉動，在轉動的過程，觀測BC的大小和△ABC的形狀，並列出下表：
請仔細體會其中的道理，並填空：m＝_____ ，n＝______ ；
（2）猜想一般結論在△ABC中，設BC＝a，AC＝b，AB＝c（a≤b≤c），
①若△ABC為直角三角形，則a、b、c滿足a2+b2＝c2；
②若△ABC為銳角三角形，則a、b、c滿足______；
③若△ABC為鈍角三角形，則a、b、c滿足______．
【探索】在許老師的啟發下，小慧用小刀在一個長方體橡皮上切出一個三角形截面ABC（如圖1），設
SA＝x，SB＝y，SC＝z，請幫助小慧說明△ABC為銳角三角形的道理．
【應用】在小慧的基礎上，小雯又切掉一塊「角B」，得到一個新的三角形截面DEF（如圖2），那麼△DEF的形狀是_______
A．一定是銳角三角形
B．可能是銳角三角形或直角三角形，但不可能是鈍角三角形
C．可能是銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形．
【分析】（1）分兩種情況：∠ACB＝90°和∠BAC＝90°，用勾股定理解答；
（2）過B作BD⊥AC於點D，再利用勾股定理解答；
【探索】應用勾股定理計算進行說明；
【應用】根據三邊的平方和關係的情形進行判斷．
本題證明計算與推理之間充滿了辯證關係，正如數學大師張景中先生有過精闢論述：「計算和推理是相通的。數學活動中的畫圖和推理，歸根結底都是計算。推理是抽象的計算，計算是具體的推理，圖形是推理和計算直觀的模型」