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勾股定理在幾何證明題中的運用相當廣泛，本文就例題詳細解析三角形內線段間數量關係證明題中的勾股定理和輔助線的運用方法，希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。
例題
銳角△ABC中，AD⊥BC於D，若∠B=2∠C，求證：AC^2=AB^2+AB·BC。
解題過程：
延長CB，取BE=AB，連接AE
根據等邊對等角的性質和題目中的條件：BE=AB，則∠E=∠EAB；
根據外角的性質：三角形的一個外角等於不相鄰的兩個內角和，則∠ABC=∠E+∠EAB；
根據結論：∠E=∠EAB，∠ABC=∠E+∠EAB，則∠ABC=2∠E=2∠EAB；
根據題目中的條件和結論：∠ABC=2∠E，∠ABC=2∠C，則∠E=∠C；
根據等腰三角形的判定和結論：有兩個角相等的三角形為等腰三角形，∠E=∠C，則△AEC為等腰三角形；
根據等腰三角形的性質和題目中的條件、結論：等腰三角形底邊上的高就是底邊上的中線，△AEC為等腰三角形，AD⊥BC，則CD=ED；
根據題目中的條件：AD⊥BC，則∠ADC=∠ADB=90°；
根據勾股定理和結論：∠ADC=90°，則AC^2=AD^2+CD^2；
根據勾股定理和結論：∠ADB=90°，則AB^2=AD^2+BD^2，即AD^2=AB^2-BD^2；
根據結論：AC^2=AD^2+CD^2，AD^2=AB^2-BD^2，則AC^2=AB^2+CD^2-BD^2；
根據題目中的條件和結論：BE+BD=ED，CD=ED，則BE+BD=CD；
根據題目中的條件和結論：BE=AB，BE+BD=CD，則AB+BD=CD；
根據題目中的條件：BC=BD+CD，AB+BD=CD，則BC=BD+AB+BD，可求得BD=(BC-AB)/2；
根據結論：AB+BD=CD，BD=(BC-AB)/2，則CD=(BC+AB)/2；
根據結論：BD=(BC-AB)/2，CD=(BC+AB)/2，則CD^2-BD^2=(CD+BD)(CD-BD)=BC·AB；
根據結論：AC^2=AB^2+CD^2-BD^2，CD^2-BD^2=BC·AB，則AC^2=AB^2+AB·BC。
結語
解決三角形內線段間數量關係證明題的關鍵是合理添加輔助線，構造出直角三角形和等腰三角形，再利用勾股定理和等腰三角形的性質得到邊之間的數量關係，進而得到題目需要證明的結論。