「從愛因斯坦質能關係式推出勾股定理」之荒謬

本文作者是葛惟昆教授。葛教授為香港科技大學的榮休教授，清華物理系的教授，現為北大客座教授。獲得葛教授的授權發表此文。

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一， 故事的由來1

最近關於人民教育出版社義務教科書八年級數學《自讀課本》（以下簡稱「教科書」）的「勾股定理與愛因斯坦質能關係式」的匪夷所思的勾連，引起物理界一陣感嘆。勾股定理與愛因斯坦質能關係式在

科學上都是重量級的發現，而把它們勾連在一起，也可以算是這本號稱「教科書」的編者們的相當驚人的發現。教科書的封面就以勾股定理作圖，可見它的編者們是拿這件事很以為傲的。

愛因斯坦本人在11歲時還真地給出一個勾股定理的證明，於是想像力豐富的編者就杜撰了下面的故事：

「2005年事愛因斯坦建立相對論100周年。 愛因斯坦在相對論中提出了一個著名的質能方程 E = mc2,其中E表示物質所含的所有能量，m 是物質的質量，c 是光速。這個質能方程是現代製造核武器、核電站的理論基礎。」到這兒，沒大毛病。接下去：

「據說，勾股定理也曾經引起了這位偉大的物理學家的濃厚興趣，」這也沒錯。然後：「與眾不同的是，愛因斯坦是用相對論來證明勾股定理的。」讀到這兒，筆者不由驚出一身冷汗。相對論可以證明勾股定理，How？這怎麼可能呢，怎麼有關聯呢？學了這麼多年物理竟然不知這等妙聞？有趣的在下面，這個「證明」原來如此：

「假設直角三角形的三條邊為a, b, c，過直角頂點做斜邊 c的垂線段（如圖）。

看到這裡，不禁拍案叫絕，原來愛因斯坦質能關係式可以用來算直角三角形的面積！原來質能關係式中的光速 c ，可以就是直角三角形的斜邊長度 c 。這種類比真是異想天開，匪夷所思。為了讓故事更吸引人，教科書繼續編造：

「愛因斯坦這個證明發表以後，震驚了國際數學界，大家發現相對論原來有這麼大的威力。後來德國著名的數學刊物『Mathematische Annolen』聘請愛因斯坦去做了多年的主編。」

好一個完美動聽的故事。愛因斯坦發表過這樣的證明嗎？他因此而震驚了國際數學界了嗎？物理界和數學界的朋友們聽到這裡都目瞪口呆：謊言就這樣明目張胆地寫入堂而皇之的官方教科書裡？

二，愛因斯坦對勾股定理的天才論證2

事實又是如何呢？愛因斯坦證明過勾股定理還真是歷史事實，但那是他11歲時的天才萌發，離他發明相對論還有15年之久，談何以相對論證明勾股定理？一本著名的科學史著作《分形、混沌和指數律（Fractals, chaos, power laws）》,論述了勾股定理（西方稱之為畢達哥拉斯定理）的由來，其中介紹了愛因斯坦的證明。

那一節的題目就是愛因斯坦的名言：「我要稍微想一想（I will a little think）」。這個稍微想一想，發生在愛因斯坦11歲學習歐幾裡得幾何學時。他那時已經有了追求簡約的思想風格，因此覺得歐幾裡得關於畢達哥拉斯定理的證明是不必要的繁複（如果你認真看看歐幾裡得最初的證明，那裡有若干條輔助線，一定會同意愛因斯坦的看法）。

於是只經過簡單的思考（ a little thinking）,愛因斯坦給出了一個十分簡潔的證明，只需要一根輔助線。這根輔助線把原來的三角形分成兩個，顯然這兩個小三角形和原來的大三角形彼此相似。如果大三角形斜邊長度為c , 兩個直角邊長度分別為 a 和 b ，則 a 和 b 分別成為兩個小三角形的斜邊長度（見圖）。

多麼巧妙而簡潔的證明，出自一位11歲少年之手。細心的讀者可能會發現，這裡真出現了類似相對論質能關係式的公式：Ec = mc2 ，於是「教科書」大加發揮，說成是愛因斯坦用相對論的質能關係式證明了勾股定理。這些編輯絕對是沒經過大腦，也不想想在上面的勾股定理證明中，m 只是個無量綱的常數而不是質量，c 是個長度而不是光速， E 也不是能量而是面積。兩者之間的關係，除了表面形似，可以說風馬牛不相及! 讓人不得不佩服編輯們的想像力！

三，勾股定理的各種傳奇證明2

至于震驚了國際數學界，更是一個神話。勾股定理的證明從公元前400多年，至今2600 多年，有無數智者徜徉於其中尋求樂趣。就連一位後來當了美國總統的加菲爾德先生，也給出一個頗為聰明的證法（見圖），後被戲稱為總統證法。

如圖所示，三角形ABC的面積是 c2/2, AEB 和 CBD 兩個三角形面積都是 ab/2。這三者面積之和為直角梯形 ABED 的面積 （a+b）(a+b)/2。因此

這個證明也頗有新意，說明這位後來的美國總統確實智力過人。

總而言之，勾股定理自古至今堪稱人類智慧的一個大賽場，包括吸引了11歲的愛因斯坦，但是無論如何，與相對論無關，與質能關係式完全無關。

四，相對論質能關係式3

那麼相對論智能關係式又是何方神聖呢？讓我們引述張天蓉在《上帝如何設計世界：愛因斯坦的困惑》的介紹：

「愛因斯坦善於『從一團亂麻中尋找出最重要最核心的東西』，他天才地在狹義相對論中導出了描述能量質量關係的質能公式：E = mc²，… 這個公式已經深入人心，是人類歷史上最有名的公式之一，已成為人類文化的一部分。」

「狹義相對論中，3維空間被4維時空所代替：(t,x,y,z)，質能關係表明了靜止質量m和其內稟能量的關係。它表明物體相對於一個參照系靜止時仍然有能量mc²。反之，在真空中傳播的一束光，其靜止質量是0，但由於它們有運動能量，因此它們也有所謂因運動而具有的『相對論質量』。… 這個等式所描述的不是質量和能量的互相轉化，而是表明了質量能量是同一個東西，物體的質量實際上就是它自身能量的量度。」

質量和能量這種關聯，不但是物理學的重大飛躍，也是哲學上非凡的突破，是人類認識史的一個裡程碑式的發展。

五，結語

關於這個勾股定理與質能關係式的糾纏故事到此可以落幕了。「教科書」的編者們現在感到尷尬，於是發了個聲明，表示「確有文獻記載愛因斯坦在少年時，曾運用相似、利用兩個小直角三角形的面積和等於大直角三角形的面積，證明過勾股定理。但其證明過程中涉及的公式Ec = mc2等與相對論的質能方程具有類似的形式是一種偶然，並不能說明他是利用相對論證明了勾股定理，因此自讀課本中的有關表述存在錯誤。」這裡用「偶然」和「表述存在錯誤」來輕描淡寫，實在看不出誠意所在。他們承認：「在自讀課本中出現這樣的問題，說明我們在編輯、審稿過程中不夠嚴謹科學。」 然而這僅僅是不夠嚴謹和科學嗎？這是在褻瀆科學，是以偽科學在誤導孩子。最後，這個聲明的著眼點， 其實是欲蓋彌彰、息事寧人，不想太丟人而已：「現在這個事已經形成了一波輿情，還請老師看到有關內容後不再轉發。」如果真正認識到自己的錯誤，以及危害之嚴重，為什麼要遮遮蓋蓋呢？難道不應該勇敢地向最廣大的讀者群承認錯誤，挽回損失嗎？

真誠地認識和承認錯誤，是改正錯誤的開始。其實這個錯誤也不完全在幾個編者，他們水平有限、自以為是，固然是事件的直接起因，但更要追究的是：誰把教科書這樣重大的社會責任交付給他們？在美國，像費曼這樣頂尖的物理學家曾經是中小學數學課標的評審人。我們這裡呢？誰把中小學教育和他們的教科書真正當回事了？教育，當然要從娃娃抓起，幼兒、兒童和少年的教育會奠定一個人一生認知的基礎，其無可替代的重要性是不言而喻的！

我們的教育部長已經誇下海口：中國在2049年就要成為世界教育的中心了！ 借鑑於這個小小的事件，似乎可以預見，這個中心會是什麼模樣了吧！

參考文獻：

1，《自讀課本 數學 八年級下冊》，人民教育出版社。

2，Fractals, Chaos, Power Laws: Minutes from an Infinite Paradise，Manfred R. Schroeder，Dover Publications，2009.

3，上帝如何設計世界：愛因斯坦的困惑，張天蓉，清華大學出版社，2015.