原創 Helen 羅博深數學
作者 | Helen
文 2459字 閱讀時間 5分鐘
導語
人教版的教材驚現「利用相對論證明了勾股定理」大烏龍，網友：你數學是體育老師教的吧！
勾股定理，相信大家都很熟悉了，直角三角形兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方，a⊃2;+ b⊃2; = c⊃2; 都要背爛了。可就在最近，人教版的教材中的「愛因斯坦對勾股定理的證明」驚現大烏龍——「利用相對論證明了勾股定理」。
我們給大家還原一下大型翻車現場。
槽點實在是太多了。
首先，E=mc⊃2;這裡的c是指光速，和斜邊沒有任何關係。
其次，這裡的E是指物體固有的質能。不同物體的質量m是不一樣的，像這裡的小三角和大三角，顯然不能用同一個m來表示。
地鐵大爺臉逐漸僵硬。關於相對論的知識，我們稍後再進行討論。
那麼愛因斯坦和勾股定理到底有什麼關係呢？答案是有的。
作為典型的別人家的小孩，我們還在玩泥巴的年紀，愛因斯坦就證明了勾股定理。雖然愛因斯坦當時並沒有把整個證明記錄下來，但是他的助手和其他物理學家依然儘量還原了他的巧妙證明。
第一步，我們加一條輔助線，是斜邊上的高。注意這條高和斜邊 c 是垂直的。
第二步，我們知道綠色和黃色這兩個小的直角三角形的面積相加等於整個大直角三角形的面積。
我們小學的時候就學過這三個三角形是相似的。
根據我們學過的判定方法尋找「角角角」。首先它們都是直角三角形，90度是第一個角。第二，綠和黃兩個三角形分別和藍三角形共用一個角。因為三角形的內角和都是180度，剩下的那一個角一定也相等。所以根據角角角的判別方式，他們一定相似。
關鍵的部分來啦。因為每個三角形的形狀是一樣的，那麼它們佔各自對應的正方形的比例也應該是一樣的。
在這裡我們用f來表示這個比例，那麼綠三角形的面積就是fa⊃2;, 黃三角形的面積就是fb⊃2;，藍三角形的面積是fc⊃2;。
根據前一步的觀察，因為綠三角形的面積加上黃三角形的面積等於藍色三角形的面積。我們很容易就能推導出 fa⊃2; + fb⊃2; = fc⊃2; ，f在這裡表示的是同樣的比例，我們可以將 f 約掉，剩下來的等式，就是我們熟悉的勾股定理啦。
這個證明可比我們平時推導的要簡單優雅得多。但是一時半會兒可能還是有些讓人難以理解，尤其是最後一步。為什麼同樣形狀的三角形，佔邊長為斜邊的正方形的比例是相等的？我們不妨從一個最特殊的例子來觀察一下。想像一個等腰直角三角形，我們取斜邊上的正方形，就像摺疊信封的形狀一樣，
我們知道每個等腰直角三角形的面積都是相應斜邊上正方形的1/4，與三角形的大小沒有關係。
這也是相似圖形的奧妙所在，不論我們怎樣放大或者縮小整個圖形，圖形內各個部分的比例是不會變的。
說完了勾股定理的部分，我們回到愛因斯坦和他的相對論。E = mc⊃2; 這個公式可謂是無人不知，無人不曉。我們今天就簡單來介紹一下相對論。
相對論中的最重要概念就是參考系。有一句物理學的名言，大家可能都聽說過，「這個世界上沒有絕對的靜止」。你靜靜坐在塵世喧囂中，修籬種菊。那是你相對於地球而言是靜止的，地球是我們描述運動的參考系。毛主席的「坐地日行八萬裡，巡天遙看一千河」也說明了這個道理。儘管我們相對於地球可能是靜止的，我們仍然隨著地球的自轉在運動。所以不標明參考系的運動都是在耍流氓。
在牛頓的經典力學中，相對於參考系靜止的物體是不具有能量的。但是在相對論中，愛因斯坦認為相對於參考系靜止的物體仍然是有能量的。這個能量可以與質量等價，這就是我們著名的質能方程，表示相對於參考系靜止的物體的能量。這裡的c是光速，是一個常數。和勾股定理裡的斜邊沒有任何關係。
之所以想講一講相對論，是因為雖然愛因斯坦並沒有用相對論證明勾股定理，勾股定理仍然是相對論中重要的一個部分，我們可以通過勾股定理更好地理解相對論。
在狹義相對論裡，我們常常用時空圖來表示任意物體的運動。因為當一個物體的速度足夠快，在它的參考系裡，時間會膨脹（time dilation），長度會收縮（length contraction）。所以我們需要在時空圖裡，將時間和空間的變化都體現出來。
換句話說，坐在兩艘速度不同的飛船裡，兩個太空人對時間的感受不同，對空間的感受也不同，我們只知道光速是絕對的，那麼我們怎麼將不同參考系的時空「統一」起來呢？這就要用到勾股定理啦。
我們知道，如果我們將一把十米的尺子逆時針旋轉一個角度，它頂點的x坐標就不再是十米了，但是通過勾股定理，我們仍然可以通過這個新的坐標求出這把尺子原本的長度。在狹義相對論中，我們也可以用到勾股定理。我們知道一個物體在它自己的參考系中是永遠靜止的，所以在它自己的參考系裡，我們可以找到這個物體的「固有時間」和「固有長度」，叫做「時空間隔」。
要求任何兩個物體的「時空間隔」，可以看作是四維空間內兩個物體間的距離。我們知道根據勾股定理，求三維空間內兩個物體的距離，我們只需要求x，y 和z軸方向的平方和。(△d)⊃2; = (△x)⊃2; + (△y)⊃2; + (△z)⊃2;。那麼在四維空間裡，我們只需要再考慮時間的維度(△s)⊃2; = (c△t)⊃2; - (△x)⊃2; ，這裡的 t 是指時間，x 來描述位置，如果要考慮三維空間的話，可以表示為(△s)⊃2; = (△ct)⊃2; - (△x)⊃2; - (△y)⊃2; - (△z)⊃2;
愛因斯坦和勾股定理固然有許許多多的羈絆，但是從來沒有用相對論證明過勾股定理。這場大烏龍也教會我們，做學問是為了知識本身能帶給我們的樂趣。所謂知之為知之，不知為不知，是知也。
下面這個這個視頻，是開源學習社區expii的對勾股定理的趣味解說��！羅教授的Daily Challenge系列數學課程從Module0開始也有涵蓋對勾股定理相關知識的系統講解。其實不止是勾股定理和相對論，宇宙中的知識紛繁複雜，各種「權威」教材的解釋眾說紛紜。讓孩子從小樹立對知識的正確認識，培養發現錯誤的批判性思維，才是可以讓他們可以受益一輩子的事。
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原標題：《人教版數學教材：愛因斯坦和他的勾股定理？？？》
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