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摺疊問題是初二數學的重要題型，也是數學中考的常考題型，本文就例題詳細解析利用勾股定理求解摺疊部分面積最大值的方法，希望能給初二學生的數學學習帶來幫助。
例題
如圖，在長方形紙片ABCD中，AB=3，AD=9，摺疊紙片ABCD，使頂點C落在邊AD上的點G處，摺痕分別交邊AD，BC於點E，F，求△GEF面積的最大值。
解題過程：
過點F作FM⊥AD，交AD於點M
根據矩形的性質和題目中的條件：矩形的四個角為直角，對邊平行且相等，四邊形ABCD為矩形，則AD∥BC，AD=BC，∠A=∠B=90°，即AB⊥AD；
根據平行線的判定和結論：垂直於同一直線的兩直線平行，FM⊥AD，AB⊥AD，則FM∥AB；
根據平行四邊形的判定和結論：兩組對邊互相平行的四邊形為平行四邊形，AD∥BC，FM∥AB，則四邊形ABFM為平行四邊形；
根據平行四邊形的性質和結論：平行四邊形的對邊相等，四邊形ABFM為平行四邊形，則FM=AB；
根據題目中的條件和結論：AB=3，FM=AB，則FM=3；
根據摺疊的性質和題目中的條件：摺疊形成的圖形與原圖形的對應角相等，對應邊相等，則∠GFE=∠CFE，GF=CF；
根據矩形的性質和題目中的條件：矩形的對邊平行且相等，四邊形ABCD為矩形，則AD∥BC；
根據平行線的性質和結論：兩直線平行，內錯角相等，AD∥BC，則∠GEF=∠CFE；
根據結論：∠GFE=∠CFE，∠GEF=∠CFE，則∠GFE=∠GEF；
根據等角對等邊性質和結論：同一個三角形中相等的兩個角所對的邊相等，∠GFE=∠GEF，則GF=GE；
根據結論：GF=GE，GF=CF，則GE=CF；
根據三角形的面積計算公式和結論：FM=3，GE=CF，則S△GEF=GE·FM/2=CF·FM/2=3/2CF；
當點G與點A重合時，△GEF的面積取到最大值
設CF=x
根據題目中的條件和結論：AD=9，AD=BC，CF=x，則BF=BC-CF=9-x；
根據結論：GF=CF，CF=x，則GF=x；
根據勾股定理和結論：∠B=90°，GF^2=AB^2+BF^2，AB=3，BF=9-x，GF=x，則x^2=3^2+(9-x)^2，可求得x=5；
根據結論：CF=x，x=5，則CF=5；
根據結論：S△GEF=3/2CF，CF=5，則S△GEF=15/2。
結語
解決本題的關鍵是利用摺疊圖形的軸對稱性質得到邊與角的關係，確定摺疊部分面積取到最大值時的圖形特點，再選擇合適的直角三角形，利用勾股定理進行求解。