初三數學培優題,老師解析:關於圓的不規則陰影部分面積求解方法

2021-01-11 陳老師初中數理化

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關於扇形面積的計算是初三數學的重要知識點，也是數學中考的重要題型，本文就例題詳細講解如何利用扇形的面積計算公式對陰影部分面積進行求解，希望能給初三學生的數學學習帶來幫助。

例題

如圖，在扇形OAB中，∠AOB=90°，C為OA的中點，CE⊥OA交弧AB於點E，以點O為圓心，OC長為半徑作弧CD交OB於點D。如果OA=2，求圖中陰影部分的面積。

解題過程：

連接OE

根據題目中的條件：C為OA的中點，OA=2，則OC=OA/2=1；

根據題目中的條件和結論：OA=OE，OC=OA/2，則OC=OE/2；

根據三角函數公式和結論：CE⊥OA，cos∠COE=OC/OE，OC=OE/2，則cos∠COE=1/2；

根據特殊角的三角函數值和結論：cos60°=1/2，cos∠COE=1/2，則∠COE=60°；

根據結論：∠COE=60°，則n=60；

根據扇形的面積計算公式、題目中的條件和結論：S扇形OAE=（n/360）πR^2，n=60，R=2，則S扇形OAE=2π/3；

根據勾股定理和結論：EC^2+OC^2=OE^2，OC=1，OE=2，則EC=√3；

根據三角形的面積計算公式和結論：S△ECO=EC·OC/2，EC=√3，OC=1，則S△ECO=√3/2；

根據結論：S空白AEC=S扇形OAE-S△ECO，S扇形OAE=2π/3，S△ECO=√3/2， 則S空白AEC=2π/3-√3/2；

根據題目中的條件：∠AOB=90°，則n'=90；

根據扇形的面積計算公式、題目中的條件和結論：S扇形OAB=（n'/360）πR^2，n'=90，R=2，則S扇形OAB=π；

根據結論：OC=1，則r=1；

根據扇形的面積計算公式、題目中的條件和結論：S扇形OCD=（n'/360）πr^2，n'=90，r=1，則S扇形OCD=π/4；

根據題目中的條件：S陰影=S扇形OAB-S扇形OCD-S空白AEC，S扇形OAB=π，S扇形OCD=π/4，S空白AEC=2π/3-√3/2，則S陰影=π/12+√3/2。

結語

關於陰影部分面積的計算必須將不規則圖形劃分為多個規則圖形部分，利用規則圖形的面積計算公式對各部分面積進行求解，再採用求和或求差的方式得到題目需要求解的面積。只有認真審題，仔細觀察圖形，合理運用公式，才能正確應對這類題型，為數學中考取得高分加油助力！

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