費馬在《算術》這本書裡寫出了一條美妙的結論：已經知道根據勾股定理，任意三角形的兩條直角邊長a，b和斜邊長c都是含三個未知數的方程a2+b2=c2的一組解，而每一組勾股數都是這個方程的正整數解。
最直觀簡單縷一下，可以這樣展示。
勾股定理是什麼
勾股定理從何而來
勾股定理如何巧妙證明呢
先看一個直觀的證明吧
青朱出如圖（富有東方智慧）：原著中並無一個文字，揭示數形關係。
2.趙爽弦圖（趙爽勾股圓方圖）
3.鄒元治證明：
5.歐幾裡得證明（思維奇妙）：
6.達文西證明（畫家的數學思維）：
常見的還有傳說中「畢達哥拉斯的證法」、「總統證法」（美國第20任總統加菲爾德的證法）、「辛卜松證法」等。
勾股定理的推廣有哪些
眾多領域奇特應用
除此之外，這個定理甚至還能應用到一些你無法想像的領域，邊長的「長度」可以是距離，能量，工作，時間，甚至是在社交網絡中的人們...
1.社交網絡
麥卡福定理（Metcalfe's Law），說網絡的價值與 n（關係的數量）有關。如下所示：
50M的網絡＝ 40M的網絡+ 30M的網絡。
令人驚訝的是，第二項網絡與第三項網絡共有 70M 的人，但是它們並不是簡單的相加，反倒是與一個有五千萬人的網絡價值相當。
2.表面積
球面的表面積是 4πr。所以就有：半徑為50的球面積＝ 半徑為40的球面積+ 半徑為30的球面積
我們並不經常用到球面積，但是船身有著一樣的關係。船身就像是畸形化的球面，對吧？
假設船隻的形狀都相似，給50英尺的遊艇噴漆所用的顏料正好可以給40英尺與30英尺的遊艇噴漆！
3.物理學
如果你還記得在物理課上學過的，一個質量為m，速度為v的物體的動能等於mv /2。
因此有:500邁的能量＝400邁的能量+ 300邁的能量。
加速一個子彈到500邁的能量，可以把兩個同樣的子彈分別加速到400邁與300邁。......
總而言之，勾股定理絕非表面那麼淺顯，這個定理還有許多有意思的地方等著我們去發掘呢~，其實，往往也是那些看似簡單的公式定理，最能推動這個世界的發展，而那些看起來枯燥無味的定義，背後往往也有一個鮮為人知的趣事。
結束語
勾股定理是初等幾何中最精彩、最著名、最有用的定理．它的重要意義表現在哪些方面呢？有專家是這樣說的：
1.它的證明是論證幾何的發端；
2.它是歷史第一個把數與形聯繫起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯繫起來的定理；
3.它導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解；
4.勾股定理是歷史上第一個給出了完全解答的不定方程.它引出了費馬大定理；
5.它是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值.
這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽為「幾何學的基石」，而且在高等數學和其他科學領域也有著廣泛的應用.
1971年5月15日，尼加拉瓜發行了一套題為「改變世界面貌的十個數學公式」郵票，這十個數學公式由著名數學家選出的，勾股定理是其中之首.
今天世界上許多科學家都在試探尋找與其他星球「人」交流的「語言」，我國著名數學家華羅庚曾建議，發射勾股定理的圖形，如果宇宙「人」也擁有文明的話，他們應該能識別這種「語言」.可見勾股定理的重要意義.