新版高中數學課本第一課,是集合與常用邏輯用語。
如果以前沒有認真學習過集合論,可能會覺得這一章比較「無聊」,又不大像「一般」的數學題。
確實,高考中直接和集合這個知識點相關的題,一般都在選擇題和填空題,難度不大。但是,集合論對於培養數學思維能力是非常關鍵的。
其實,我們可以用集合論解決許多看似和集合無關的問題。
為什麼這麼說呢,我們先來看個例子。許多人都知道這首詩,可以說是詩詞中最著名的海誓山盟:
山無稜,江水為竭,冬雷震震,夏雨雪,天地合,乃敢與君絕!
——《上邪》
那麼,這句話到底是真誠的誓言,還是PUA的話術呢?
1、
我們先用邏輯學知識來分析一下。這句話裡一共出現了6個簡單命題:
p1:山無稜,
p2:江水為竭,
p3:冬雷震震,
p4:夏雨雪,
p5:天地合,
q:與君絕!
首先,p1到p5是「合取」關係,也就是要同時發生:p1∧p2∧p3∧p4∧p5,記為p。
但是下面要注意了:很多人將原文理解為p → q,但這是錯誤的。
「乃敢」,用現代白話文說,就是「才會」,用英文說就是"only if...then"。
如果還不確定,就用學到的知識問一下自己:前面這個五個條件到底是、「與君絕」的充分條件還是必要條件?
應該是必要條件。
雖然課本上只說 p → q 為真時「p是q的充分條件,q是p的必要條件」,但現實中必要條件有很多種說法,比如
只有我說服了父母,才能和你在一起。
除非我不在了,否則就不會離開你。
……
這些句子裡都是將必要條件(說服了父母,不在了),寫在前面。
可以看出,這是表達決心的常用句型。
所以《上邪》命題的數學表達是:
q → (p1∧p2∧p3∧p4∧p5)。
然後,你可能知道一個法則:原命題與逆否命題等價。
(這叫「假言易位」,或者「拒取式」。)
也就是:q → p 等價於 不p → 不q。
假設(p1∧p2∧p3∧p4∧p5)不可能發生——至少在古人看來是一個也不可能,那麼這句話就等於說:我絕不與君絕!
當然,是否真的如此,是無法通過邏輯學判斷的。因為我們無法判斷這個命題是否為真,只能說:說話的人希望其為真。
2、
那麼,這和集合論有什麼關係呢?
即使你沒學過逆否命題,或者覺得難以理解,也可以用集合論來清晰理解:
如果我們用P={p}和Q={q}分別表示滿足p和q的元素的集合,
那麼q → p 就等同於:所有Q的元素都是P的元素
也就是:Q是P的子集。
現在,p是絕對不可能發生的事,也就是P是空集。
那麼,作為P子集的Q也只能是空集。
所以q也不可能發生。
3、
其實,我們還可以直接用集合語言來證明逆否命題的等價性。
原命題p→ q :P是Q的子集。
那麼逆否命題 不q → 不p 是什麼呢?
就是 Q的補集是P的補集的子集。
用Venn圖很容易看出這兩者是等價的。
4、
如果你掌握了這個方法,我們還可以用集合理論去理解其他邏輯理論。
例如:
前提為假,命題必然為真。
也就是說:p → q 中,如果p為假,那(不管q的真假)這個命題必然為真。
這看上去似乎有些不符合常識。
p → q :P是Q的子集。
p為假:P是空集。
好了,如果你還記得這個性質:空集Φ是所有集合的子集。
那麼也就明白了:對假命題p,P是任何集合(當然也包括Q)的子集。
所以,p → q必然成立。
這就如同一個渣男對你說:等我和老婆離婚(p)了,一定娶你(q)。
這句話在邏輯上完全沒問題——因為前提很可能是假的。因此,他也不用負任何「說話不算話」的責任。
(強調一遍:p → q 邏輯上的「真」,p和q本身的「真」,是兩個不同的概念。)
所以,邏輯必真的話往往最沒有誠意……
(我在《跟香港政府學PUA》一文中還舉了很多渣男話術的例子,可惜原文被刪,想看的後臺發送「HKPUA」。)
回到正題,我們看到用集合理論可以更清晰的理解邏輯命題。其實,集合理論還可以用於數論、方程、概率……這一點也不奇怪,因為「集合」是公理化數學的基礎,數學對象都可以用集合來分析。
正是因為集合是基礎,導致了其難以進行公理化的定義。也正因為此,出現了第三次數學危機。這我們下次再談。