合集| 被畢達哥拉斯從音樂中所發現的調和級數及幾個有趣應用

[遇見數學翻譯小組] 核心成員: 劉雄威

一個數學愛好者，希望為數學科普工作做更多貢獻，歡迎糾錯或討論，微信號是Mr_LiuXW。

我們曾經在學校裡學過兩種級數：

等差級數(arithmetic series)，例如:

幾何級數(geometric series)，例如:

有一個同樣基礎的級數，稱之為調和級數(harmonic series)：

調和級數雖然形式上很簡單，但是包含了許多有趣的數學、一些具有挑戰性的奧數題、幾個出人意料的應用、甚至一個著名的未解決的問題。而有關調和級數的許多問題背後的答案都與我們最初的直覺相違背，因此非常值得了解與學習。

▌為什麼該級數稱為"調和"？

中世紀畢氏音程木刻畫，在圖中顯示畢達哥拉斯正在使用鍾與其他樂器。

這個名字起源於希臘人，我們知道希臘人在許多學科上都造詣頗深。畢達哥拉斯是第一個研究由各種長度的弦所發出的音符的人。如果將一根撥弦時發出中央音的弦，它的長度剪至原來的，這根弦便能發出音符（音樂家們稱從到為一個*五度音程*）。如果弦的長度減半,它將發出高音，即高出一個倍頻程。這些音符和它們對應的弦長是畢達哥裡斯的和聲學基礎。

在調和級數中，和的調和均值為。現在將這些數字取倒數，即

形成等差數列，因此,那些取倒數即為等差數列的數列，也就是調和級數。

立方體和八面體

畢達哥拉斯的思想由數學佔主要地位，但它也非常接近於神秘主義。例如,他指出立方體有個面、個頂點和個邊。由於、和是調和級數，畢達哥拉斯立方體是一個「和諧」物體。還有其他"和諧"物體嗎？有得——八面體，它有個面,個邊和個頂點。還有其他的嗎？雖然這是個簡單的問題，但我還沒深入地思考過，這部分還需要了解歐拉的多面體公式和佩爾方程的解的內容。

▌調和級數的值

不像等差級數和幾何級的公式，調和級數的值沒有簡單的公式對應

即便如此，我們也可以回答這個問題：調和級數「取極限」究竟是怎樣？

也許你會認為調和級數收斂於某個常數，因為隨著項的增多，所增加的項在逐漸變小。確實如此，但是如果你用簡單的計算器或桌上型電腦試著計算，你會得到一個有限的數字。這是因為一般的運算器只能處理一定大小(通常為)的數字,並且將視為零。這樣的計算器會告訴你，調和級數的總和是大約，如果你讓它運行足夠長時間的話。

然而，實際情況恰恰相反——這個數列的和會無休止地增長。這個令人驚訝的結果首先被600多年前的法國數學家尼克爾·奧裡斯姆（Nichole Oresme）使用比較審斂法所證實。他指出，如果你把該級數

中的某些項換成更小的項

並將它的某部分括起來，這個級數就變成

這個總和就顯而易見地比我們原認為的調和級數還要小。

用表示調和級數的項部分和，也叫作第個調和數。奧裡斯姆認為

因此，隨著增加的項越來越多，增長的速度越來越慢。可以觀察到一個很有意思的現象，便是除了，以外，不再等於任何整數。我看到這個問題在不止一篇數學奧林匹克試卷中出現過，而這個問題的解答，因其推理的嚴謹，同樣是值得研究的。

設，取整數使得，有

令的最小公倍數為，其中為奇數。現在等式兩邊同時乘以這個數字，可得

當乘以這個最小公倍數時，等式左側的所有項都將是整數，但有一項除外：

不是整數，因為是奇數，所以等式左側不是整數。因此等式右側也不是整數。這意味著這不是整數。

▌創紀錄的降雨量

想知道天氣記錄多久被刷新一次？調和級數也給出了答案。

如果我們手頭有張空白的百年降雨量表格。現在預計百年內會有多少次打破降雨紀錄？當然假設降雨量是隨機的，因為任何一年的降雨量對以後任何一年的降雨量沒有影響。

第一年無疑是創紀錄的一年。在第二年，降雨量有同等的可能性大於或小於第一年的降雨量。因此，第二年也創紀錄的可能性為。因此，在保存紀錄的頭兩年，預計創紀錄的年數為。繼續到第三年。第三次觀測的概率為，因此三年內記錄的降雨量創紀錄預期數量為。繼續這一推理，得出的結論是，經過次觀測對應的預期創記錄年數是

你猜一百年的降雨量表中打破降雨量記錄的次數是多少？如果是，那幾乎是正確的，因為調和數列的前一百個項的總和是。

即使在某一年降雨量創紀錄之後，沒有人會懷疑這一紀錄將在未來某個時候被打破——也許在明年。因為無限次的觀測對應創紀錄年數顯然是無窮大。我們有直觀的理由相信調和級數是發散的。

以下是取不同的值時所對應的：

▌交通流量

在不允許超車的單行道交通中，一輛慢車後面跟著一堆想超車但不能超車的汽車。如果輛汽車行駛，將形成多少條車流？如同上一個例子，這就像在問將觀察到多少低速記錄一樣，我們知道答案：

因為車流中後車速度一定會比前車慢，所以兩車的間隔會更大。這解釋了為什麼在長隧道出口附近的汽車往往比隧道入口附近的汽車行駛得更快，並且車流較稀疏時車與車的間隔也會更大。

▌更好的檢測方法

假設你有一百根類似的木樑，並希望找到他們產生斷裂應變的力的最小值。您製作了一個簡單的機器，將逐漸增大的力施加到水平放置的木樑上。通過逐漸增加力的大小，直到木樑斷裂，你可以找到每根木樑的斷裂應力。假設我們用表示第根木樑的斷裂應力。

以這種方式進行的銷毀測試有一個缺點。雖然最後你知道了根木樑的斷裂應力，但在這個過程中你也毀壞了所有木樑。實際上我們想知道的並不是每根木樑斷裂應力的精確值，而是的最小值，其中。於是你改成以下實驗。

測試第一根木樑使其產生斷裂，並記錄下第一根木樑的斷裂應力()。然後，測試第二根木樑，不斷增加作用在木樑中心的力直至的大小，但不要超過。如果木樑沒有斷裂，說明這跟木樑的斷裂應力大於。如果木樑斷裂了，則記錄第二根木樑的斷裂應力。然後測試第三根木樑，使作用在木樑中心的力增加至和中的最小值。如果木樑斷裂了，記錄下斷裂應力，如果沒有斷裂，則繼續做下一根木樑的測試。

這個實驗不斷地記錄木樑斷裂應力的最小值，只有那些斷裂應力打破新低記錄的木樑才會被毀壞，因此如果試驗木樑的數目為，則有根木樑會被毀壞，而如果試驗木樑根，則有根被毀壞。

▌洗牌

洗牌（從數學上講）最簡單的方法被稱為"隨機頂部"洗牌。卡牌組的頂部卡被隨機地插入到卡牌組中。那麼，必須重複多少次這樣的洗牌以後我們才能視這個卡牌組為「隨機的」洗過牌了呢？

我們知道，一開始置底的那張卡牌，在有另一張卡牌放置到它底下之前，這張卡牌（記為）一直都是在置底的。現在從卡牌組頂部取出一張卡牌，再隨即地放回卡牌組裡，有種可能的情況，這張卡牌被放置到底下的概率為，因此平均下來經過次這樣的洗牌就會有一張牌置於的底下。而因為有了第一張牌置於的底下了，也就是的底下有兩個放牌的空間，所以這一次每一張牌經過洗牌後置於的底下的概率就變成了，同樣地預計經過次的洗牌會有第二張牌置於B的底下。因此，預計經過的洗牌會有兩張牌置於的底下。請注意，現在置於底下的牌的順序時隨機的。不斷重複這樣的洗牌，整副卡牌置於底下所需要的次數是

如此一來，底下的卡牌順序都是隨機的，想要整副卡牌順序都是隨機的，只需要再洗一次牌，將隨機地放入卡牌組中。因此，隨機地洗完整副牌所需的次數是：

▌穿越沙漠

這個問題在二次大戰中引起了極大的關注，以至於有傳言稱，這是德國人設計出來並散布到英國的，以此分散英國科學家的注意力。

問題是這樣，現在要乘吉普車穿越沙漠，但中途並沒有燃料補給，也不能在車裡攜帶足以穿越沙漠的燃料。目前你沒有時間建立中途的補給站，但好消息是，手頭有的是吉普車。現在的問題是，如何使用最少的燃料穿越沙漠？

我們以一輛吉普車能行駛一箱油的距離所耗油量作計量單位。如果兩輛吉普車一起出發，則先一起走箱油的距離，然後吉普車將箱油倒給吉普車，然後用剩下的箱油返回原點。此時，吉普車行駛距離合計為箱油。

如果三輛吉普車出發，則先一起走箱油的距離，然後吉普車分別給吉普車和吉普車倒入箱油，此時吉普車剩下箱油，但吉普車的油箱是滿的，這就跟上一種情況相同。當吉普車返回到吉普車所在處時，吉普車已經沒油了，但他們有足夠的油一起回到原處。此時，吉普車行駛距離合計為箱油。

同樣地推理，四輛吉普車，可以行駛的最長距離為

箱油的距離，則只需輛吉普車你就能穿越沙漠，沙漠的距離計為

在這裡，我們有一個新的級數，它也是調和級數(每一項都是等差級數的倒數)，當然也發散的

事實上，這個級數的收斂性表明，通過使用這樣轉移油料大法，只要你有足夠多的吉普車就可以穿過無窮大的沙漠(*￣︶￣)。

▌其他級數

我們剛剛看到，即便刪除了調和級數的偶數項，餘下項組成的級數

級數依然發散。那麼下面這個級數斂散性如何？

該級數刪除了調和級數中第一項和帶有合數（即非素數）分母的所有項，剩餘的分母都是素數，你知道，素數的分布會越來越稀疏，但非常令人驚訝的是，由素數的倒數構成的級數依然發散。

這個事實的證明有點複雜(雖然這只是大一水平的難度)，因此你可以嘗試著去證明下。當你證得這個級數發散的同時，你也可以推斷出質數的個數是無窮的。

與其刪掉分母為合數的項，不如讓我們來刪掉分母中含零的項。這看起來僅僅是在原有的調和級數中刪掉了分母為十的倍數的項。於是我們合理地作出這個級數依然發散的猜測，然而事實或許會違背你的直覺並使你震驚，因為我們的這種猜測是錯的。

我們首先看一下那些分母只有一位數的項，顯然只有9個，而且它們都小於1。因此他們的總和小於9。

然後，我們看級數中分母有兩位數的項。有項，且都小於。因此他們的總和小於。

通常，級數中分母為位數的項都有項，且每一項都小於，因此它們的總和總是小於

這是一個幾何級數，項數趨於無窮時，總和等於90。因此,沒有包含零位數的詞的調和級數收斂。實際上可以進行更精確的分析至小數點後五位，以得到該級數等於。

▌與對數的聯繫

早在14世紀，尼克爾·奧裡斯姆已經證明調和級數發散，但知道的人不多。17世紀時， 皮耶特羅·曼戈裡、約翰·伯努利和雅各布·伯努利完成了全部證明工作。

現在讓我們回到奧裡斯姆的證明，即調和級數的分散。這是通過

來實現的，在得出這個不等式中就有與對數的聯繫。

調和級數和對數之間的聯繫更加緊密。利用一點微積分知識更仔細地分析奧裡斯姆的不等式，會發現與的自然對數的發散速度一致。可以得到當趨於無窮時，兩者只相差一個常量值，通常用表示。

這後來以瑞士著名數學家倫納德·歐拉的名字命名為歐拉常數(又稱歐拉-馬歇羅尼常數)。值已計算大約為，但對的性質知之甚少。甚至不知道是有限小數或無限小數，但是分析表明如果它是一個有理數，那麼它的分母位數將超過。如果你能解決這個著名懸而未解的問題，便也能立刻成為全世界的焦點。(- End -)

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