聰明出於勤奮，天才在於積累。——華羅庚
每天十分鐘，數學很輕鬆！歡迎來到暖爸的數學碎碎念。大家好，我是愛數學的暖爸。昨天跟大家一起研究了能被3整除的數的特點，感興趣的可以去了解一下：
能被3整除的數有什麼特徵
今天要跟大家一起來研究一下能被7整除的數都有哪些特點。
首先我們來看一個題目：
n7 所得的積的後四位為2020，n最小是多少，其中n為正整數。
這題應該怎麼解算，大家可以自己先思考一下，等我們一起分析完能被7整除的數的特點，然後跟大家一起來解答。
能別7整除的數到底有什麼特徵呢？
我們先來一起觀察一下能被7整除的數，看看能不能發現什麼特點：
首先能被7整除的2位數：
14，21，28，35，42，49，56，63，70，77，84，91，98
只是靠觀察的話，似乎沒有什麼特定的規律。
會不會和能被3整除的數一樣，個位+十位的和有特點呢？
我們試一試個位加上十位數得到什麼結果：
14, 1+4=5;21, 2+1=3;28, 2+8=10;35, 3+5=8;42, 4+2=6;49, 4+9=13;56, 5+6=11;63, 6+3=9;....
結果是5，3，10，8，6，13，11，9... 也看不出什麼特點。
我們再來試試十位數減去個位數能不能發現什麼規律：
14, 1-4=-3;21, 2-1=1;28, 2-8=-6;35, 3-5=-2;42, 4-2=2;49, 4-9=-5;56, 5-6=-1;63, 6-3=3;70, 7-0=7;77, 7-7=0;84, 8-4=4;91, 9-1=;
這次得到的結果是：-3，1，-6，-2，2，-5，-1，3，7，0，4，8
除了負數比較多，表面上看還是沒有什麼特點。
如果我們拿這次得到的結果再減去個位數看一看：
14, 1-4=-3, -3-4=-7;21, 2-1=1, 1-1=0;28, 2-8=-6, -6-8=-14;35, 3-5=-2, -2-5=-7;42, 4-2=2, 2-2=0;49, 4-9=-5, -5-9=-14;56, 5-6=-1, -1-6=-7;63, 6-3=3, 3-3=0;70, 7-0=7, 7-0=7;77, 7-7=0, 0-7=-7;84, 8-4=4, 4-4=0;91, 9-1=8, 8-1=7;98, 9-8=1, 1-8=-7;
結果我們可以看出，這次得到的結果都是可以被7整除的數了。
我們先大膽假設一下：
對於兩位數來說，能被7整除的數的特點是，十位數-個位數-個位數，即十位數-2倍的個位數可以被7整除。
我們再來看看能被7整除的三位數有什麼特點：
161=7x23，238=7x34，315=7x45，392=7x56， 469=7x67
我們用上面同樣的方法試一下：
首先十位-2倍的個位：
161，6-1x2=4；238，3-8x2=-13；315，1-5x2=-9；392，9-2x2=5；469，6-9x2=-13；
似乎沒有2位數的規律了，但是如果我們把百位和十位看成一個整體來看一下
161, 16-1x2=14=7x2;238, 23-8x2=7=7x1;315, 31-5x2=21=7x3;392, 39-2x2=35=7x5;469, 46-9x2=28=7x4;
這次得到的數，都可以被7整除了。
於是我們根據2位數和3位數的特點，我們做進一步的假設：
能被7整除的數符合下面的特點：
把除了個位數的部分看成一個數，用這個數減去2倍的個位數所得的結果能被7整除，那麼這個數一定能被7整除。如果所得的數不能被7整除，那麼這個數不能被7整除。
下面我們來證明一下是不是這樣的:
兩位數的情況：
假設A, 為一個任意2位數, 個位數為N,十位數為M.
則A=10M+N，我們根據推測：
A=10M+N
=(9M+3N)+M-2N
=(8M+5N)+M-2N+M-2N
=(7M+7N)+M-2N+M-2N+M-2N
=7(M+N)+3(M-2N)
可以看出7(M+N)是可以被7整除。
於是知:3(M-2N)能被7整除是A能被7整除的充要條件。
由於3與７互為質數，所以(M-2N)能被7整除是A能被7整除的充要條件。
即：M-2N若能被7整除，則A能被7整除，若M-2N不能被7整除，則A不能被7整除。
反之，若A能被7整除，則M-2N能被7整除，若A不能被7整除，則M-2N不能被7整除。
2位數符合我們的假設。
接下來我們推廣到3位數：
假設A 為一個任意的3位數, 個位數為N,去掉個位數所得的數為M.
則同樣A=10M+N，我們根據２位數的推導方式, 可以先分解出:M-2N
A=7(M+N)+3(M-2N)
於是3位數的結果與2位數相同，假設依然成立
最好我們推廣到任意的正整數：
假設A 為一個任意正整數, 個位數為N,去掉個位數所得的數為M.
同樣A可以表示為：10M+N，
於是可以得到與2位數和3位數同樣的結論。
最後我們得出結論：
判斷一個數是能被7整除的充要條件是：
去掉個位數所得到新的數-2倍的個位數能夠被7整除。
我們來看下面的例子，具體題目中，怎麼利用這個特徵：
判斷下列哪些數是7的倍數：
A. 47376 B. 47048 C. 4720 D. 47240
選項A：去掉個位數所得數為4737-6x2=4725，得到的數是否能被７整除，還是看不出來，沒事我們再繼續把4725去掉個位數472-5x2=462，還是看不出來，再繼續把462去掉個位數46-2x2=42=7x6，可以被7整除了，這說明A. 47376可以被7整除，事實上：47376=7x6768選項B：47048去掉個位數為4704-8x2=4688，4688去掉個位數468-8x2=452，452去掉個位數為45-2x2=41，顯然41不能被7整除，這說明B. 47048不能被7整除，事實上：47048÷7=6 721.1428571429.剩下的兩個選項大家可以自己試一試。因此我們做一個總結，即判斷一個數是否為７的倍數時，可以一直用去個位數的方法，直到最後得到一個可以清晰判斷是否能被７整除的數為止。
最後我們回到文章開頭的題目：
假設n7的積為A，ｍ為A去掉2020所得的新數。我們先來求最小的A是多少。根據題意A明顯是7的倍數，根據上面的7的倍數的特點：我們把A表示為m2020，則去掉個位數得: m202-0x2=m202，繼續去掉個位數：m20-2x2=m16,m16去掉個位數: m1-6x2, 這裡因為1不夠減12,所以要借位,我們假設p=m-2可以推出：m1-6x2=p9 (比如51-12=39)由於A能被7整除，所以p9能被7整除。能被7整除,且個位為9的最小正整數是49.所以可以得出p9的最小值為49，即p的最小值為4，從而的到m的最小值為p+2=6，A的最小值為62020=8860x7，從而得到最小的n為8860.
為了讓大家每一步都能看明白, 所以解題過程比較繁瑣, 希望大家可以通過這個題目更好的了解能被7整除的數的特點, 並且以後遇到類似的題目可以很快找到解題思路.
好了，今天關於能被7整除的數的特點就分享到這裡，如果大家有什麼疑問歡迎留言討論。