圓面積的算法「化圓為方」
導語：
當西方的數學體系傳入中國，中國的學者在感嘆其先進而自成體系時，也對中國古代數學研究的發展脈絡進行了梳理，最終認為，中國古代數學家們的「勾股術」、「重差術」、「天元術」、「四元術」等，其實也就是西方數學的源頭。
明清之際，西方的數學體系傳入中國，中國的學者們在震驚之餘，也不斷反思，梳理中國古代數學發展的脈絡，探究中國古代數學與當時的西方數學間的異同。經過一番研究比較，人們認為，當時的西方數學知識固然先進而自成體系，但其實也是中國「古已有之」的，不足為奇。康熙皇帝時代，「西學中源」說被不少學者認同，他們認為：商高、陳子等人的「勾股術」，劉徽的「重差術」，就是西方幾何學的源頭，李冶、朱世傑的「天元術」、「四元術」，就是西方代數學的源頭，楊輝、朱世傑等人的「垛積術」，就是西方微積分的源頭，等等。這種思想的形成，無疑源自長期以來中國人「古老而驕傲的」民族性格，我們的古人在數學方面付出了極大的努力，做出了巨大的貢獻，讓我們不要忘記這些光榮的名字：商高、陳子、劉徽、祖衝之、祖𣈶、沈括、秦九韶、楊輝、李冶、朱世傑……
「夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，數安從出？」
——周公（《周髀算經》）
三千多年前的某一天，周朝的著名政治家周公在周王的花園裡，碰到了數學家商高。
周公問商高：你們這幫數學家不是故弄玄虛的吧？什麼天有多高地有多大，日月星辰一天走幾度，怎麼你們都知道啊？「夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，數安從出？」
商高從容回答：數學家的學問，妙就妙在並非什麼都要用尺子來量，只須通過數學計算，一樣可以得到正確的數字。比如這個直角三角形——他用一根牛的大腿骨和一段繩子作道具，比比劃劃，向周公解說：牛的大腿骨立在地上，高四尺，從牛骨的底端沿地面伸開一段繩子，使這段繩子正好長三尺，再將餘下的繩子折向牛骨的頂端，請問，最後這一段斜向牛骨頂端的繩子，應該長几尺？不須用尺子量，它的長度一定是五尺。可見，數學家能算出太陽的高度來，不是什麼稀奇事。
商高總結說：在一個直角三角形中，如果兩條直角邊的長度分別是三和四，那麼斜邊的長度一定是五，「勾三股四弦五」，這一個著名的論斷被記載在著名的《周髀算經》一書裡，這就是後人所熟知的「勾股定理」的一個特例。
勾股定理作為一個大自然的秘密，註定要被世界上各個地方的人們分別發現，或早或晚，因為這個定理就隱藏在人們的身邊，在每一個直角三角形裡，除非你永遠不蓋房子，不造馬車，不修陵墓，不建金字塔，否則，這個秘密就會不可避免地被人們發現。
在中國，勾股定理的發現被歸在這個名叫商高的數學家兼天文學家的名下，所以後來又有人稱它為「商高定理」。當然，如果僅僅有「勾三股四弦五」這一句話，那還不算真正全面闡述了勾股定理的內容，「勾三股四弦五」只是勾股定理的一個特例。
若干年以後，周公的後人陳子也成了一個數學家，他曾詳細講述了運用勾股定理測量太陽高度的全套方案，為此，陳子說了一句更為重要的話，同樣被記載在《周髀算經》這部書裡，他說：「求斜至日者，以日下為句，以日高為股，句股各自乘，並以開方除之，得斜至日。」
《海島算經》插圖
在商高和陳子的時代，人們以為腳下的大地是一個大得沒邊的平面，只要知道了從觀察點到太陽正下方的距離，知道了太陽離地面的垂直高度，當然就可以求出太陽到觀察者的直線距離了，從觀察點到太陽的正下方是勾（「以日下為句」），太陽到地面的垂直距離是股（「以日高為股」），剩下觀察點到太陽的距離，就是弦（「斜至日」），如此如此，求「斜至日」的辦法是「勾股各自乘，並開方除之」：勾和股先自己乘自己一遍，加起來的和再開平方，就得到了弦長。雖然和我們今天對勾股定理的表述在習慣上有所不同，但這也是對勾股定理的完整表達。
據《周髀算經》記載，陳子和他的科研小組測得日下六萬裡，日高八萬裡，根據勾股定理，求得斜至日整十萬裡。他進而還算出了太陽的直徑，為了達到這個目的，他用一隻長八尺，直徑一寸的空心竹筒來觀察太陽，讓太陽恰好裝滿竹筒的圓孔，這時候太陽的直徑與它到觀察者之間的距離，其比例正好是竹筒直徑和長度的比例，即一比八十。
可惜，這些結論都是錯的！
「此亦望遠起高之術……」
——陳子（《周髀算經》）
看起來，陳子是當時的數學權威，《周髀算經》這本書，除了最前面一節提到商高以外，餘下的部分說的都是陳子的事情。
一天，一位名叫榮方的人跑來請教陳子：聽說根據先生的學問，可以算出太陽有多高多大，一天之中太陽行多少裡，天有多高地有多遠，總之想知道什麼就知道什麼，是這樣嗎？
陳子回答：然。
等了一陣不見下文，榮方只好再問：「方雖不省，願夫子幸而說之。」陳子回答：其實也沒什麼難的，不過是運用一些算術的方法就足夠了，你回去好好思考一下吧。就這樣把榮方打發回去了。
榮方回去想了好幾天，還是想不出有什麼好辦法可以算出太陽的高度來，只好又去請教陳子：「方思之不能得，敢請問之。」
陳子曰：「思之未熟。此亦『望遠起高之術』，而子不能得，則子之於數，未能通類，是智有所不及，而神有所窮。」一點也不客氣地批評了榮方。
《九章算術》書影
注意陳子所說的「望遠起高之術」，這是當時人們在生產實踐中，特別是大型的建設活動中，已經熟練掌握的一套測算距離和高度的方法，陳子認為同樣可以用來測算太陽的高度。
倒黴的榮方思考了好幾天，還是想不出問題的答案，不得不第三次去請教，陳子這才原原本本，把這一套方法向榮方講了一遍，自此，一部《周髀算經》直到結尾，都是陳子的講話記錄。
陳子講得信心十足，卻根本沒有意識到，他想當然的許多東西，其實都是錯的。他不知道他腳下的大地，看似無邊無際，平坦無垠，實際不過是小小一丸球，體積僅為太陽的130萬分之一，以地球之微來測太陽之巨，無異於「以蠡測海」。
除了太陽的高度，陳子還講了許多問題，天有多高地有多大，太陽一天行幾度，在他那兒都有答案，所以人們認為《周髀算經》又是一部天文學著作，記載了不少當時人們已經掌握的天文學知識。書的最後部分，陳子指出：一年有三百六十五日四分日之一，有十二月十九分月之七，一月有二十九日九百四十分日之四百九十九，有零有整，不失精確，而且基本上都是對的。
所以，三千多年前的陳子，他的學問也不是那麼簡單的，雖然他不是全對。
「觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。」
——劉徽（《九章算術注》序）
到了三國魏晉時代，中國又出了一位了不起的大數學家，他的名字叫劉徽。
《測圓海鏡》書影
根據劉徽的著作，人們推斷他生活的時代是「三國魏晉」，他的出身，他的生平事跡則沒有人知道，但他的家庭條件比較好應該是可以肯定的，因為從小，他就有機會在老師或長輩的指導下研究數學這門學問，如他自己所稱的那樣：「幼習九章，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾之暇，遂悟其意。」學習數學不是一年兩年了，很有心得。
劉徽一生的數學成就斐然，其中最為人們熟知的一項，是他詳細記錄了用「割圓術」算出圓周率「密率」的方法，這在當時絕對是領先世界的數學成就。
劉徽也研究自商高、陳子那時就遺留下來的數學難題：「太陽到底有多高猜想」。劉徽汲取了前人的經驗，提出更加完美的方案，假如我們腳下的大地真的是一個大得沒邊的平面，那麼，用劉徽的這套辦法，就會真的計算出太陽的高度來，如假包換。他的方案是：
立兩表於洛陽之城，令高八尺。南北各盡平地，同日度其正中之景。以景差為法，表高乘表間為實，實如法而一，所得加表高，即日去地也。以南表之景乘表間為實，實如法而一，即為從南表至南戴日下也。以南戴日下及日去地為句、股，為之求弦，即日去人也。
讓我們簡單翻譯一下，大體上說，他的方案是這樣：
在洛陽城外的開闊地帶，一南一北，各立一根八尺高的標杆，在同一天的正午時刻測量太陽給這兩根標杆的投影，以影子長短的差作分母，以標杆的長乘以標杆之間的距離做分子，兩者相除，所得再加上標杆的長，就得到了太陽到地表的垂直高度。再以南邊一桿的影長乘上兩桿之間的距離作為分子，除以前述影長的差，所得就是南邊一桿到太陽正下方的距離。以這兩個數字作為直角三角形兩條直角邊的邊長，用勾股定理求直角三角形的弦長，所得就是太陽距觀測者的實際距離。
《測圓海鏡》書影2
當我們按照劉徽的思路，將他的這一套方案具體到一張幾何圖中的時候，我們就會驚訝地發現，他的方案看似莫名其妙，毫無邏輯可言，實則運用了相似三角形相應邊的長成比例的原理，巧妙地用一個中介的三角形，將另外兩個看似不相干的三角形聯繫在了一起。這一切，和我們今天在中學幾何課本中學到的方法一模一樣。而劉徽其人生活的時代，距今已近兩千年了。
「雖天穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉！」
——劉徽（《九章算術注》序）
和陳子一樣，劉徽測算太陽高度的方案因為前提的錯誤，結果當然也是錯誤的，不過，這套方案本身並不是為了測量太陽的高度而專門設計的，方案的原始目的只是測算地面上的高山大河，測算山有多高，河有多寬，路有多遠，只要忽略地球的表面是個球面這一問題，劉徽的方案堪稱完美。
曾經，在長沙馬王堆的漢墓裡出土過一幅帛畫的地圖，人們將它和實際的地形相比較，發現地圖驚人準確，考古工作者還利用這張將近兩千年前的地圖作嚮導，又發現了周圍一帶其他的地下遺蹟。這看起來似乎很難讓人相信，但有了劉徽所記載的這一套測天量地的方法，這也就不算是什麼奇蹟了。
劉徽總結的這一套測天量地的數學方法叫做「重差」。「重差」也是劉徽的一部數學著作的書名，這部著作研究的第一個例題是測算一個海島有多高多遠的問題，因此它還有一個名字叫做「海島算經」。這部著作篇幅不長，似乎沒有出過單行本，長期以來附在《九章算術》的後面，流行於世，所以歷代的《九章算術》都有十卷。
《九章算術》劉徽注
劉徽對「重差術」進行了比較全面的總結，無論是測量一座山有多高，一條河有多寬，一道溝有多深，都可以用到重差術，其原理就是利用兩根或兩根以上的標杆，將被測量的對象納入到一組相關的三角形中間來，又通過三角形之間的關係，算出所要求得的對象。顯然，古代的「重差術」，現在叫做「測量」或者「測繪」，也就是陳子提到的「望遠起高之術」。
重差術經過了實踐的檢驗，劉徽曾自信地說，利用這種方法「雖天穹之象猶曰可度，又況泰山之高與江海之廣哉！」
「半周半徑相乘得積步」
——《九章算術》
和直角三角形一樣，圓這個幾何圖形裡面，也隱藏著一個大自然的秘密，那就是圓周率。
我們的古人實在是太有才華，不管是中國的外國的數學家們，居然如此巧妙地，分別找到了計算圓面積的方法，讓人想不佩服都不行。
重繪《測圓海鏡》插圖
我們試在紙上畫一個圓，將這個圓沿直徑分成兩個半圓，然後：分別將兩個半圓像切西瓜一樣割成八塊，讓它們像切好的八塊西瓜一樣，一個挨一個放在桌子上，或者，想像它們是一把只有八個齒的梳子，現在我們有兩把這樣的梳子，再將這兩隻梳子齒對齒地插在一起，於是就湊成了一個近似的長方形，它的短邊正好是這個圓的半徑，它的長邊不是一條直線，而是由六段弧線構成的。讓我們再作進一步假設，假設：我們當初不是將半圓分成八份，而是分成了六十份，甚至三百六十份，那麼，這條長邊就會變成一段近似的直線，這條近似的直線非常接近半個圓周的長度。
兩千多年前人們計算圓面積的方法就是這樣「化圓為方」，將圓周長的一半與圓的半徑相乘，正如《九章算術》方田章中所指出的一樣：
「圓田……術曰：半周半徑相乘得積步。」
圓面積的計算方法太簡單了，簡單到就像一層窗戶紙，一捅就破。但是，幾千年以前的數學家們，不知道花了多大的工夫，經歷了多少不眠不休的思考，才終於捅破了這層窗戶紙。
《九章算術》書影2
「假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數均等。」劉徽則在他的《九章算術注》裡詳細寫到了如何計算「圓周率」，也就是圓的周長和直徑之間的比率。
在長期的實踐活動中，人們發現圓的周長和直徑之間有一個固定的比率，它的數值大約是3，只不過還要多那麼一點。《九章算術》方田章的第三十一題是這樣的：今有圓田，周三十步，徑十步。問為田幾何？
我們一看這個圓就有點問題，世上並不存在一個直徑為十，周長為三十的圓，「徑一周三」是中國古代圓周率的「約率」，在《九章算術》整本書裡，圓周率採用的都是這個約率，顯然，這個約率相當粗糙，給人們的生產生活實踐造成了不少煩惱。數學家們清楚，圓周率一定不是3，而是比3稍微大一點的一個數字。追逐圓周率這個大自然秘密的競賽，就這樣開始了。
計算圓周率的突破性進展，是由劉徽來完成的。劉徽在為《九章算術》作注的時候，詳細記載了用「割圓術」計算圓周率的方法，他正確計算出了圓內接正192邊形和3072邊形的邊長，從而得到了圓周率3.14和3.1416的數值，成為當時領先世界的數學成就，這是我們都熟悉的史實。
「割圓術」的辦法，就是不斷增加圓內接正多邊形的邊數，讓這個多邊形的邊長不斷地逼近圓周的方法。劉徽在《九章算術注》中寫道：「假令圓徑二尺，圓中容六觚之一面，與圓徑之半，其數均等。合徑率一而外周率三也。」畫一個直徑二尺的圓，在圓中作一個內接正六邊形，正六邊形的周長和圓的直徑比例為三比一。正六邊形的邊長恰好與圓的半徑相等，利用這一條件，依勾股定理，可以求得這個等邊三角形的高。一切從這裡開始，按同樣步驟重複下去，圓內接正多邊形的邊長會不斷接近圓的周長，求得的圓周率也就會越來越精確。
割圓術
劉徽想到了，而且做對了。通過這種方法來計算圓周率，要經過怎樣龐大的計算，可想而知，其中還要反覆用到繁難的開方計算，可是古代的數學家們毫不畏懼，勇敢迎接挑戰，一點一點，再接再厲，試圖揭開這個隱藏很深的秘密。
「窮年致志，感於夢寐，幸而得知，謹不敢隱」
——秦九韶（《數書九章》序）
生活年代較劉徽晚一點的祖衝之，也是一位著名的數學家，他同樣利用了「割圓術」的辦法，窮追圓周率這個大自然中無盡的秘密，通過艱苦的努力，也取得了不俗的成績，刷新了記錄，名垂後世。
和劉徽的情況稍有不同，祖衝之在當時（南朝宋、齊）的政府裡面任有職務，所以在官方的史書中，留下了一篇簡短的傳記。據說他很有巧思，曾經設計製造過一些自動化的機械，可以與諸葛亮的「木牛流馬」相媲美。
祖衝之的兒子祖𣈶也是一位數學家，父子兩人合著了一本名叫《綴術》的數學著作，書中就記載了他們將圓周率計算到3.1415926與3.1415927之間的成果，這在當時也是相當突出的成績。可惜，後來《綴術》一書失傳了，只有從其他著作的引文中，後人才能看到這本書的片斷。
祖𣈶痴迷數學的程度有甚於他的父親，當他思考數學問題的時候，哪怕天上打著驚雷，他也可以充耳不聞。一天，祖𣈶一邊走路，一邊思考數學問題，不小心撞到了別人的身上，一時傳為笑談，事情被寫進了他們父子兩人的傳記之中。
《測圓海鏡》書影3
到了十三世紀的宋元時期，中國古代的數學發展又迎來了一個黃金時代，達到了一個新的高峰，可惜這是中國古代數學史上的最後一個高峰，此後，中國古代數學再也沒有突破性的進展，而西方的數學研究則取得了飛躍的進步。
在這個最後的黃金時代，中國出現了四位最重要的數學家，被後人稱為「宋元四大家」，他們是南宋的秦九韶、楊輝，金元時期的李冶，元朝的朱世傑。
秦九韶早年「訪習於太史，又嘗從隱君子受數學」，學成以後，寫成了著名的《數書九章》一書。在該書的序言中，秦九韶寫道：「數理精微，不易窺識，窮年致志，感於夢寐，幸而得知，謹不敢隱。」日思夜想，夢寐求之，一旦有所收穫，趕緊記錄下來，留給後世。科學，就在這樣點點滴滴的努力中，得到了進步。
楊輝是南宋另一位著名的數學家，他在數學方面的著作很多，除了對學科中的某些領域有所開拓以外，他還將《九章算術》中的題目重新做了排列分類，指導人們學習研究，對古代數學的教育和普及做出了貢獻。
朱世傑是元朝享有盛譽的職業數學家，後人稱他「以數學名家，週遊湖海二十餘年」，「踵門而學者雲集」，學術地位非同一般。朱世傑的數學代表作有《算學啟蒙》和《四元玉鑑》兩種。《算學啟蒙》是一部通俗數學名著，曾流傳朝鮮、日本等國，古代朝鮮曾以《算學啟蒙》開科取士，深刻影響了這些國家的數學教育和發展歷史。《四元玉鑑》則是中國宋元時期數學高峰的又一個標誌，其中最傑出的數學成就有「四元術」、「垛積術」與「招差術」等。
李冶陳列館
而四人中最為出色的，應當是李冶。
「踵門而學者雲集」）
——《四元玉鑑》序
「宋元四大家」中的李冶，是真定欒城縣(今河北省石家莊市欒城區)人，金朝進士。當蒙古帝國的軍隊攻入中原、圍困金朝的南京汴梁之際，李冶就在圍城之中。城破之後，李冶輾轉北上，來到河北一個名叫「封龍山谷」的地方，隱居下來，一呆就是二十年。在這裡，李冶開辦了一所名叫「封龍書院」的學校，教授他畢生精研的數學。李冶著有《測圓海鏡》和《益古演段》兩部數學著作，其中《測圓海鏡》的成書標誌著「天元術」的成熟，《益古演段》則是「天元術」的普及讀物。
李冶在他的著作中，研究了把實際問題化成高次方程的數學模型，他稱方程中的未知數為「天元」，稱他的求解方法為「天元術」。有研究者指出：李冶的《測圓海鏡》標誌著「天元術」的成熟，此後，元朝郭守敬編撰《授時曆》，使用「天元術」求周天弧度，又用「天元術」來解決水利工程中的計算問題，都收到了良好的效果。「天元術」很快發展為「二元術」、「三元術」，以至朱世傑的「四元術」，成為中國傳統數學發展史上的一次高潮。
馬王堆出土地圖
1265年，應元世祖忽必烈的反覆邀請，七十三歲的李冶離開封龍山谷，來到北京城裡，在元朝剛剛建立的翰林院裡任職。可以想像，一個隱居了二十年的老數學家，到了翰林院這樣的機關裡，還能有什麼大的作為？這份工作顯然不適合李冶其人，所以他「就職期月，復以老病辭去」，堅決地託病辭職了。
李冶離開北京回山，從此不再離開封龍山谷半步，他繼續埋頭研究、教授數學，直至87歲去世。史家評論李冶：「講學著書，秘演算術，獨能以道德文章，確然自守，至老不衰。」他還有兩句詩流傳至今，很好道出了他在封龍書院的身心狀態：「隱身免留千載笑，成書還待十年閒！」
李冶墓修復記
公元1279年年初，南宋王朝最後的武裝力量在廣東崖山海域覆亡，其後某一天，八十七歲的老數學家在遺囑中寫道：「吾平生著述，死後盡可燔去，獨《測圓海鏡》，雖九九小數，吾常精思致力焉，後世必有知者，庶可布廣垂永乎？」
前不見古人，後不見來者，中國古代數學家們的一生是何等寂寞啊！李冶老人不知道，他當年研究的「九九小數」，今天已經成了人類最重要的學問之一，豈止「布廣垂永」，而且日新月異，人才輩出。後人也到底沒有忘記這些古代數學的先驅者們，1992年，在李冶的故鄉河北欒城，人們建起了一所「李冶陳列館」，以此紀念李冶誕生800周年。李冶這位中國古代數學家，已被公認為中國乃至世界的文化名人。
李冶先生泉下有知，可以含笑而無憾了。
秦九韶像