「四色猜想」是什麼為什麼它困惑了大多數數學家近半個世紀!

在我們的生活中地圖的重要性自然不用多說。可是，在繪製地圖時，相鄰的不同區域最好塗上不同的顏色以示區別。這樣的地圖看起來花花綠綠，只是不知你有沒有注意過，不論一張地圖上的行政區劃有多麼複雜，只要使用四種顏色著色，就可以保證將它們清清楚楚地區分開來(即任何相鄰的兩個地區顏色不會重複)。

這個問題到了數學家手裡，就變成著名的四色猜想(也稱四色問題)。數學家從節約的角度考慮，任何地圖，使得相鄰的地區塗上不同的顏色，至少得用多少種顏色呢?四色問題或者四色猜想的結論是：四色足夠!

百年拼搏史

說起來，這個問題可能有許多人發現過，但是第一個明確記錄在案的是剛從倫敦大學畢業不久的英國青年弗蘭西斯·葛斯瑞。1852年，他給一張英國地圖著色時發現，四種顏色足夠。他於是猜想對任何地圖也是如此。他把這個想法告訴正在倫敦大學學習的弟弟弗雷德裡克，他弟弟當然解決不了這個問題，於是向他的老師、著名數學家德·摩爾根請教，他也不能解決這個問題，便於1852年10月23日寫信給當時最偉大的科學家哈密頓，這成為四色問題第一個人歷史文獻。

不過，哈密頓對這類好像數學遊戲的問題不太感興趣，德·摩爾根於是繼續宣傳，直到另一位英國數學家凱萊於1878年在皇家學會上正式提出並在《皇家地理學會會報》上發表，這才引起人們對四色問題的廣泛重視。各國數學中心和數學雜誌都收到大量的錯誤證明，就如同以後的費馬大定理和哥德巴赫猜想一樣。

正如許多這類提法簡單而證明極為困難的大猜想一樣，大量的「證明」完全離譜，但也有的包含可貴的思想，當然這些思想只能來自有數學訓練的人。1879年，劍橋大學三一學院數學畢業生肯普先在《自然》雜誌，後在《美國數學雜誌》上發表四色猜想的證明。然而到1890年，一位大學數學講師希伍德指出肯普的「證明」中有一個漏洞，然後，他應用肯普的方法給出一個定理——五色定理，也就是五色足夠。

儘管四色定理沒有得到證明，肯普和希伍德對於後來圖論的發展都作出決定性的貢獻。一位圖論大師說道，1890年四色問題的研究主要沿著兩條道路發展：一條是定性的，主要是肯普發明的「鏈」方法，一條是定量的，主要是希伍德的方法，其思想基礎是尋找一個極小的反例。開始的作法是對於區域數目很少的地圖證明四色定理，由於區域數越多，可能的構形數目也越多，因此到1976年，雖然區域數接近100個，但這個問題還差得很遠。

計算機的參與

要想完整地證明四色定理，還是需要在概念上下工夫，特別是要尋找可約化的構形，也就是把區域數多的問題簡化為區域數少的情形。20世紀60年代、70年代當時估計這種構形有8000到10000個，這用計算機也辦不到。後來阿沛爾及哈肯用計算機搜索，發現只有不到2000個，從而完成了全部的證明。它用了1200小時的機時，相當於計算機連續算50個晝夜。這成為第一個用計算機證明的大定理。芝加哥的郵局信封上也印有「四色足夠」的字樣。它轟動了整個世界。但是數學界對此並不放心，於是阿沛爾和哈肯又進行了系統的檢查，的確發現並糾正了一些小的錯誤，並在1989年發表修正後的論文。

但是，這仍然不能平息人們的疑慮，另一組數學家企圖通過手寫來證明，但是，沒有成功。他們的貢獻在於使用的可約化構形數目大大減少了，減少到633種構形。整個證明簡單，而且容易覆核，雖然仍需計算機幫助，但再次肯定四色猜想的確成為定理。

幾點啟示

首先，雖然迄今為止，四色猜想仍是電腦證明數學難題絕無僅有的一例，但它昭示了「機器證明」時代的到來。它可能開闢了人與機器合作去解決問題的新途徑，成為數學上一系列新思維的起點。

其次，四色猜想的證明，是人工智慧機器與人類本身關係的一次驗證。通過人工智慧的運用，找到一些數學難題解決的途徑，不應該給人們帶來某些顧慮(似乎在人工智慧機器面前，人類顯得如此渺小和無能，由此甚至產生「機器取代人腦」的恐懼)。四色猜想是第一個用計算機輔助證明的大定理，但是主導整個證明的是數學家，計算機只是進行機械化的運算。

第三，四色猜想看來是一個帶有數學遊戲性質的孤立的問題，可是它卻創造出圖論許多新的分支。數學家的本事在於他們能夠把複雜的事物變成簡單的對象。從四色問題就可以做這樣的化簡：一個區域不妨看成一個點，任何兩個區域或者相鄰(也就是公用一條邊界)，或是不相鄰。如果代表兩個區域的點相鄰，那麼我們就在兩點之間連上一條線，否則就不連線。這樣的結構就稱為圖。四色問題也就變成圖的頂點著色的問題，也就是兩頂點如果有線相連，則必須塗上不同顏色。