轟動全球的四色問題

1、「四色猜想」的由來

1852年，剛從大學畢業的學生弗南西斯·葛斯裡，在對英國地圖著色的時候，發現一個很有趣的現象。對無論多麼複雜的地圖，只消用四種色調就足以將相鄰區域分開。弗南西斯感到這絕不是一個偶然現象，其中說不定隱藏著某種深刻的科學道理哩。他把自己的想法告訴胞兄弗德雷克·葛斯裡，請他解決。後者是著名數學家德·摩根教授的學生。他對弟弟提出的問題很感興趣，並敏銳地感到，這個地圖著色問題很可能是個數學問題，於是準備給出數學證明。儘管他絞盡腦汁，卻百思不得其解。當年10月23日，弗德雷克第一次用數學的形式作為「四色定理」請求德·摩根給以證明。摩根教授對自己的學生所提出的定理有著濃厚的興趣，當即寫信將這事告訴了他在三一學院時的學友、著名數學家和物理學家哈密爾頓爵士: 「我的一個學生今天要我為他提供一個充分的理由，來說明一件我自己還無法判明究竟是對的還是錯的事實。他說，如果畫一張圖，圖上任意分成許多部分，凡是有共同邊界線的兩部分要塗上不同的顏色。那麼，大概需要四種顏色，而不需要更多的顏色就可以了。請問：難道不能夠構造出一個需要五種或者更多種顏色的圖麼？

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摩根教授期望這位智慧超人的超複數的締造者能夠給出答案。哈密爾頓爵士根本沒有想到，一個學生提出的這樣一個簡簡單單的問題，居然會如此意想不到的困難。他經過長達13年的冥思苦索，直到1865年逝世為止，對此染色定理，始終一籌莫展，毫無結果。

哈氏死後13年，1878年6月13日，一位當時很有名望的數學家凱萊，在數學年會上宣讀他曾在倫敦數學會會刊上發表過的一篇文章時，將上述問題歸納為「四色猜想」。並在 1879年英國皇家地理會創辦的第一期會刊上，再次提及這個「猜想」，徵求對這一「猜想」的正確解答。

川凱萊的文章和講話，引起了很大的反響，吸引了一大批很有才華的有志之士去探索這一難題的奧秘。值得一提的是，在這群有志之士中，有的人並不是以數學為專業的，而僅僅是對「四色猜想」著了迷而改攻數學的。這便是轟動全球的「四色猜想」的由來。

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2、發揚風尚的遊戲

自凱萊歸納出「四色猜想」後，恰好一年光景，律師出身而改鑽數學的數學家肯普寫成一篇論文，給出了第一個證明。證明發表以後、人們普遍認為「四色難題」 已成為歷史，「猜想」已變為現實。不料11年後，到了1890年，有位年僅20歲的後起之秀希伍德，指出肯普的證明是錯誤的。這樣一來， 「四色猜想」依舊懸而未決。希伍德在指出肯普律師的錯誤時，也肯定了他的成績，並且還採用肯普在論文中提供的方法成功地證明了「五色定理」。

經過這次波折，研究「四色猜想」的情緒更加振奮起來。熱衷這一難題的有志者比比皆是。為了讓人們憑直覺在客觀上證實這個猜想必然成立，數學家史蒂芬還設計出一種風行一時的「染色遊戲」。遊戲由兩人（或多人）參加，第一人任畫一閉合區域，由對手著色；著完色後，後者再畫一閉合區域讓對手（或是第三者）染色，如此循環進行。遊戲規定，不論誰，若著色完畢並畫出閉合區域後，迫使後繼者非染第五種色調不可時，便判誰為負。這個規定很有意思，整個遊戲中，每次染色都得為後繼者著想，不能迫使他用第五種色。如圖3，當E區畫定時，D區只能染黃色。否則，由於E區與前四區相鄰，後繼者非染第五種顏色不可。這充分表明，要想迫使對方非染第五種顏色，那真是易如反掌。 可是，遊戲規定，誰這樣作誰便為負。所以，必須時刻發揚風格，才能使自己立於不敗之地。

圖3

那麼，是否只要切實地注意發揚風格，就確實能立於不敗之地呢？據說，自倡導染色遊戲以來，沒有誰真正負過一次。這在客觀上便生動表明：不管閉合區域多麼複雜、多麼怪，只用四色塗染，相鄰區域肯定能分開。換句話說，「四色猜想」的必然成立是毫無疑義的。

但是，遊戲畢竟是遊戲，它只能說明四色猜想成立與否的趨向性，怎麼也不能用遊戲去代替科學證明。那麼，在理論上得如何下手去證明呢？長時期來，成千上萬的數學工作者和愛好者深為這一難題所困擾。

3、耐人尋味的插曲

在「四色猜想」的進軍途中，有著不少耐人尋味的插曲。有位才思過人、謙虛持重、聲望崇高的名數學家，一度擔任過愛因斯坦數學導師的閔可夫斯基教授，也因輕視這一問題的難度而鬧出過一則小笑話。

事情是這樣的。有一次，他正給蘇黎士大學的研究生們上課，一時興起，談起「四色問題」來。他滿不在乎地說： 「四色猜想之所以一直沒有獲得解決，究其緣由是因為當今世界第一流的數學家們，還沒來得及研究它。其實，要解決這一猜想，並不見得會有多難。」說著便拿起粉筆，即興推演，潛以為能一揮而就，當場解決這一難題。他一口氣寫了幾黑板，沒料到越寫情況越複雜，越講頭緒越繁多，講著講著，不由自主地「掛」起黑板來了。雖然如此，教授毫不灰心，他堅信自己確有能力揭開奧秘，決不草率收兵。第二天、第三天……一連幾天都接著講，接著算，接著寫。同樣，每一次都「掛」黑板，而且一次比一次更狼狽。閔可夫斯基對證明這一猜想所需的工作量遠遠估計不足，結果， 「馬克松」式的一連「掛」了幾個星期黑板，搞得他焦頭爛額，不得不中途告吹。幾裡期後的一天上午，他疲憊不堪地走進教室。這時，正值雷電交加，大雨傾盆，閔可夫斯基十分愧疚地說： 「唉！看來，上帝在責怪我狂妄自大！四色猜想真難呀，我簡直拿它毫無辦法！」

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從閔可夫斯基為「四色猜想」空前受挫之後，「四色問題」與「費馬大定理」、「哥德巴赫猜想」齊名，即使人津津有味，又令人望而生畏。

4、「四色定理」的例證

對「四色定理」，要給出一般證明的確不是輕而易舉的事。但是對若干特殊情形，我們不難給出完滿的證明。為了給讀者提供資料，現在就正十二面體可用四色塗染作為例證 以窺一斑。

為了畫圖方便和直觀起見，將正十二面體經過「開孔」，「展開」，「攤平」，畫成平面網絡（圖5）。

並且約定：1號面為「前面」，12號面為「背面」，2至6號面稱為「第一環面」，7至11號面稱為「第二環面」。另外，若通過正十二面體的一個旋轉，可以將兩種塗色方法的同色面完全重合時，則將這兩種塗色方案看成是相同的。有了這些規定之後，我們就可以證明下述定理：用四色塗染正十二面體，有且僅有四種不同的染色方案。

圖5

可分三個步驟進行推證：

第一步，對正十二面體著色，不管任何方案，四種顏色中每種都恰好使用三次（請讀者想想這是為什麼？）。

第二步，顯然，1號面與12號面決不能同色。並且，1號面色調必與第二環面中使用兩次的色彩相合；12號面必與第一環面塗染兩次者同色。這顯然表明，當第一環面與背面的色彩染定時，就只能按照唯一的一種染色方法給其餘各面塗上顏色。

第三步，從圖6可知，用四種顏色對正十二面體著色，一共只有十二種方案。圖中每一行所列的四種方案是互不相同的，而每列所示的三個方案皆可通過旋轉而重合。因此證明，只有四種不同的染色方案。

圖6

5、科學史的殷切囑望

上例說明，一張地圖中，國家的個數不超過12時，四色定理確實是成立的。這一成功，激發人們不懈地去提高圖中國家數目的上限：1922年，有人證明了，一張圖中國家的個數不超過25時，四色定理成立；1938年，有人把國家數目提高到32; 1940年，國家數目提高到35; 1969年，上限推到39。這就是說，1922年到1969年將近半個世紀，使「四色定理」得以成立的國家數僅僅提高了14個。這樣，要想否定「四色猜想」，至少得設計一張包括40個相鄰的閉合區域才有可能。

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與此同時，還有人從另一方面開闢道路，提出一系列與四色猜想「等價」的猜想。只要這些「等價」猜想中的任意一個得到證實，那麼，四色猜想即告解決。1972年，有人在一篇論文中，對這類「等價」猜想，一口氣列出13個之多，可是誰也沒能打開缺口，闖出新路。到了二十世紀七十年代中期，美國伊利諾斯大學數學家阿沛爾教授和哈肯教授獨樹一幟，他們採用肯普當年創立的「不可避免性」與「構形可約性」這一基本思想，啟動三臺1BM360型超高速電子計算機（這是大學畢業生柯奇專為阿沛爾和哈肯裝配的），運轉1200個機時，進行了兩百億次邏輯判定，終於在1976年9月獲得「四色定理」的證明。為了紀念阿沛爾和哈肯的功績，伊利諾斯大學城烏爾班納郵局，在發布「四色定理」已經獲證消息的當天，便加蓋了紀念郵戳"FOUR COLORS SUFFICE!"（只要四種顏色就夠了）藉以記錄下這亙古以來 的奇蹟，同時，及時將成功的喜訊傳遍全球。

儘管「四色猜想」在大型超高速電子計算機的幫助下奇蹟般地變成了「四色定理」，但四色問題並未因此而宣告結束。我們知道，數學證明的傳統風格是簡明嚴謹，筆墨可互施。這個啟動超高速電子計算機也要費上千個機時的「馬拉松證明」能不能加以簡化？不用計算機械能不能給出證明？除了阿沛爾和哈肯的方法外，還存不存在其它的方法？所有這些，還擺在數學家和科學愛好者的面前！所有這些，還期待著人們去思索，去探求，去發現，去解決！所有這些，便是科學史賦予人類的殷切矚望！