四色的地圖問題

2020-11-25 生物谷

四色的地圖問題

  對地圖製作者來說,一個畫在平面或球面上的地圖,只要用四種不同的顏色便能把不同的國家區分開,這是一條未經證明的永恆法則.1976年,著名的四色地圖問題由美國伊利諾斯大學的K·阿佩爾和W·哈肯用計算機給予了證明,但他們的計算機證明依然面臨著挑戰.

  四色問題要求證明:每一張畫在平面上的地圖能夠只用四種顏色著色,使得所有鄰接的地域都有不同的顏色.

  為了增添一些花樣,我們考慮在不同的拓撲模型上的地圖著色.拓撲學研究了許多非同尋常的形狀的表面——油煎圈餅、油條式脆餅、莫比烏斯狀的表面等等.一個球面能夠通過戳一個洞,然後將它張開、攤平而成為一個平面.因而從本質上講,一個球面的著色跟一個平面的著色,所需求的顏色數是一樣的.拓撲學研究的是物體在如同橡皮膜那樣伸張和皺縮的變形下保持不變的性質.究竟有哪些性質在這些變形下保持不變呢?由於扭曲是允許的,所以我們推知拓撲學不考慮對象的大小、長短、形狀和剛性.拓撲學所要找的是位置的特徵,諸如點在一曲線的內部或外部,一個表面是單面還是雙面,一個對象是否是一條簡單的閉曲線,或它所具有的內部或外部的區域數等等.對於前面所提的那些拓撲學對象,地圖著色是一個完全新的問題,因而四色問題的解對它們也不適用.

  試對一張紙條上的各種不同的地圖著色.然後把它扭轉半圈並將端頭粘接在一起,做成一條莫比烏斯帶.此時四色總是夠嗎?未必!那麼對於任意的這種地圖最少需要多少顏色呢?試在一個環面上(具有油煎卷圈餅的形狀)對地圖著色.最容易的方法是用紙張做一個想像的油煎圈餅,然後在上面做試驗.可先在紙的一面上對地圖著色,然後捲成圓筒狀,再把圓筒弄彎並像油煎圈餅那樣把兩頭接在一起.你能確定在這樣一個環面上的地圖著色問題,最少需要多少種顏色嗎?

 

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    這樣的地圖看起來花花綠綠,只是不知你有沒有注意過,不論一張地圖上的行政區劃有多麼複雜,只要使用四種顏色著色,就可以保證將它們清清楚楚地區分開來(即任何相鄰的兩個地區顏色不會重複)。這個問題到了數學家手裡,就變成著名的四色猜想(也稱四色問題)。數學家從節約的角度考慮,任何地圖,使得相鄰的地區塗上不同的顏色,至少得用多少種顏色呢?
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