因為不理解混沌，計算機預測模型可能鑄成大錯

2020-08-26 哆嗒數學網

本文源自ScienceAlert網站。

翻譯作者，radium，哆嗒數學網翻譯組成員。

校對：Math001


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對於混沌，我們依然混沌。


在一項新的研究中，科學家們發現，由於一種「無法控制的」缺陷，無法真實還原混沌動力系統的數學複雜性。


「我們的工作表明，混沌動力系統的行為比任何數字計算機所能計算到的東西更為豐富，」來自英國倫敦大學學院的計算科學家彼得·考文尼說。


「混沌無處不在，遠遠超過人們所認識的。甚至對於非常簡單的混沌系統，計算機使用的數字也可能導致不明顯但影響巨大的錯誤。」


幾個世紀以來，理論家們一直在思考，非常小的影響如何會像滾雪球一樣，在下遊形成非常大的影響。


在混沌理論中，這一著名的現象被稱為「蝴蝶效應」:打個比方，一隻蝴蝶在一個地方的輕微地扇動一下翅膀，會導致在另一個地方產生龍捲風。



這是一個充滿詩意的描述，儘管它看起來異想天開，但數學模型表明，這個概念是可精確嚴謹表達的。


蝴蝶效應主要歸功於美國數學家和氣象學家愛德華·諾頓·洛倫茨(Edward Norton Lorenz)。在20世紀60年代，洛倫茨在反覆進行天氣模擬時，做了一次創造歷史的簡化運算:他在第二個實驗中使用了略微簡化後的數字(例如輸入的是0.506，而不是0.506127)。


洛倫茨後來回憶說:「我去大廳喝了杯咖啡，大約一小時後回來。在這段時間裡，電腦模擬了大約兩個月的天氣。」


「計算出來的數字和以前的完全不一樣。」


洛倫茲戲劇性的四捨五入的結果表明，初始條件的微小變化如何在複雜、混沌的系統中隨著時間的推移產生巨大的變化，在這種系統中，許多變量相互影響。


天氣預報就是一個例子，但從相位軌跡建模到湍流和分子動力學，滾雪球誤差這樣的現象已經在各個領域得到了證明。


問題是，儘管蝴蝶效應已經為人所知幾十年了，它仍然是計算機計算方式中不可忽略的因素。


考文尼和他的團隊在他們的新論文中解釋道:「對初始條件極度敏感是混沌動力系統的一個典型特徵。」


「自從第一次將數字計算用於計算科學以來，我們已經知道，由於實數的離散近似而導致的精度損失會在短時間內極大地改變混沌系統的動力學。」


這種精度上的損失在簡單的計算中並不重要。你的智慧型手機上的計算器應用程式可能完全足以滿足你在日常生活中所需要的一切。


但是在有多種變量和初始條件的大型計算中，一開始的微小四捨五入誤差可能會導致在給定模擬的最後出現巨大的計算錯誤。


研究人員說，問題的核心是所謂的浮點算術:計算機使用的二進位代碼處理實數的標準化方法是通過使用近似轉換來表示數字的。


在大型而複雜的系統中，這些近似可能會引入嚴重的錯誤，浮點數在實數之間分布的方式加劇了這個問題，即使是在最新的、更複雜的64位格式(稱為雙精度浮點)中也是如此。


塔夫茨大學的數學家Bruce Boghosian說:「長期以來，人們一直認為四捨五入是沒有問題的，特別是使用64位而不是32位的二進位數所表示的雙精度浮點數。」


「但是在我們的研究中，我們已經證明了一個問題，這個問題是由浮點數所代表的分數，不均勻分布造成的，而且僅僅通過增加比特的數量是不可能消除這個問題的。」


在這項研究中，研究小組將最平常的簡單混沌系統伯努利映射(Bernoulli Map)與同一系統的數字計算進行了比較，發現了混沌動力系統模擬中他們所說的「系統誤差」或者「新發現的無法控制的缺陷」。


的確，當洛倫茲發現他的蝴蝶效應時，使用的運算方式本身並不涉及近似，而研究人員使用「似乎」等效的方法，是讓計算機進行數學計算。


「對洛倫茨來說，舍掉最後幾位數字是一個非常小的變化。但用它來啟動的一個模擬，導致了截然不同的結果，」考文尼在科學博物館博客中寫道。


「他和其他人都沒有意識到，而且我們的新研究也強調了這一點，即任何這種有限的(有理數)初始條件都描述了一種行為，這種行為可能在統計學意義上極不具有代表性。」


雖然研究人員承認，伯努利映射是一個簡單的混沌系統，不一定代表更複雜的動力學模型，但他們也說到，計算機使用的「浮點蝴蝶」其本質意味著任何科學家都不應該忘記在這種因素。


作者寫道:「我們認為，即使相關工作者的模型比這個更複雜，這種疑慮也完全無法消除。」


「我們認為，如果一個如此簡單的系統都會出現如此驚人的無法控制的缺陷，那麼一個更複雜的系統可能會表現出更加無法控制的缺陷。」


並不是每時每刻你都會發現計算機建模可能存在根本的缺陷。研究小組表示，在我們找到解決這個問題的方法之前，世界各地的研究人員都需要密切關注他們的電腦吐出的數字。


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