#二次函數#一、基本概念：
1．二次函數的概念：一般地，形如y=ax+bx+c（a、b、c是常數且，a≠0）的函數，叫做二次函數。
注意：（1）函數在等號的右邊是一個含x的二次整式.
（2）a、b、c為常數，且a≠0，b、c可以為零。當b、c=0時，y=ax,；當b=0時，y=ax,+c；當c=0時，y=ax,+bx.
二、基本形式與性質
a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。
三、二次函數圖象的平移
1. 平移步驟：
⑴ 將拋物線解析式轉化成頂點式y=a(x-h)+k，確定其頂點坐標(h,k)；
⑵ 保持拋物線y=ax的形狀不變，將其頂點平移到(h,k)處，具體平移方法如下：
2. 平移規律
在原有函數的基礎上概括成八個字「左加右減，上加下減」
四、二次函數解析式的表示方法
1. 一般式：y=ax++bx+c（a，b，c為常數，a≠0）；
2. 頂點式： y=a(x-h)+k（a，h，k為常數，a≠0）；
3. 兩根式：y=a(x-x1）（x-x2）（a≠0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.
注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但並非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b2-4ac≥0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.
五、二次函數y=ax++bx+c圖象的畫法
五點繪圖法：利用配方法將二次函數y=ax2++bx+c化為頂點式 y=a(x-h)2+k，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然後在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點(0,c)、以及(0,c)關於對稱軸對稱的點(2h,c)、與軸的交點(x1,0)，(x2,0)（若與x軸沒有交點，則取兩組關於對稱軸對稱的點）.
畫草圖時一定要抓住以下幾個要點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點.
六、二次函數的圖象與係數a、b、c之間的關係(中考常考考點）
1. 二次項係數a
二次函數y=ax++bx+c中，a作為二次項係數，顯然a≠0．
⑴ 當a>0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大；
⑵ 當a<0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大．
a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，｜a｜的大小決定開口的大小．
2. 一次項係數b
在二次項係數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．
⑴ 在a>0的前提下，
當b>0時，-b/2a<0，即拋物線的對稱軸在y軸左側；
當b=0時，-b/2a=0，即拋物線的對稱軸就是y軸；
當b<0時，-b/2a>0，即拋物線對稱軸在y軸的右側．
⑵ 在a<0的前提下，結論剛好與上述相反，即
當b>0時，-b/2a<0，即拋物線的對稱軸在y軸右側；
當b=0時，-b/2a=0，拋物線的對稱軸就是y軸；
當b<0時，-b/2a>0，即拋物線對稱軸在y軸的左側．
在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．
a、b的符號的判定：對稱軸在軸左邊則ab>0，在y軸的右側則ab<0，我們常說的「左同右異」就是這麼來的.
3. 常數項c
⑴ 當c>0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；
⑵ 當c=0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；
⑶ 當c<0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．
c決定了拋物線與y軸交點的位置．
只要a、b、c都確定，那麼這條拋物線就是唯一確定的．
七、二次函數圖象的對稱
二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達
1. 關於軸對稱
y=ax++bx+c關於x軸對稱後，得到的解析式是y=-ax-bx-c；
y=a(x-h)+k關於x軸對稱後，得到的解析式是y=-a(x-h)+k；
2. 關於y軸對稱
y=ax++bx+c關於y軸對稱後，得到的解析式是ax-bx+c；
y=a(x-h)+k關於軸對稱後，得到的解析式是y=a(x+h)+k；
3. 關於原點對稱
y=ax++bx+c關於原點對稱後，得到的解析式是y=-ax+bx-c；
y=a(x-h)+k關於原點對稱後，得到的解析式是y=-a(x+h)-k；
4. 關於頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）
y=ax++bx+c關於頂點對稱後，得到的解析式是；
a(x+h)+k關於頂點對稱後，得到的解析式是y=-a(x-h)+k．
八、二次函數與一元二次方程：
1. 二次函數與一元二次方程的關係（二次函數與x軸交點情況）：
一元二次方程ax+bx+c=0是二次函數 y=ax++bx+c當函數值y=0時的特殊情況.
圖象與x軸的交點個數：
① Δ=b-4ac時，圖象與x軸交於兩點A(x1,0)，B(x2,0)(x1≠x2），其中的x1、x2是一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的兩根．這兩點間的距離.
② 當Δ=0時，圖象與x軸只有一個交點；
③ 當Δ<0時，圖象與x軸沒有交點.
當a>0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y>0；
當a<0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y<0．
2. 拋物線y=ax++bx+c的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0,c)；
3. 二次函數常用解題方法總結：
⑴ 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函數y=ax++bx+c中a，b，c的符號，或由二次函數中a，b，c的符號判斷圖象的位置，要學會數形結合；
⑷ 二次函數的圖象關於對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.