今天分享一道題，題目是求解直線方程的，主要是想分享一種新的思路，希望能對各位同學有所啟發：
第一小題很簡單，直接設出 Q 點坐標，然後用兩點之間的距離公式算出 QM，QN，由題目給出的比例關係，即可算出 C 的方程：
第二小題，我們可以採取數形結合的方法，由於A、B 在圓上，則三角形 OAB為等腰直角三角形，然後可以計算出 O 到直線的距離，再根據點到直線的距離公式，即可解出 k ，這種思路最簡單，計算起來也相對方便。
我們還可以用解析幾何方法，設出 A、B兩點的坐標，然後根據垂直關係得到，兩點橫縱坐標相乘相加為零。再然後，聯立直線和圓的方程，根據韋達定理可以用 k 表示出兩橫坐標的積和兩橫坐標的和，並用它表示縱坐標之積，然後代入到上述約束中解出 k 的值，這種思路也是比較常見的，略微比前一種麻煩一點，但是當 C 為圓錐曲線時，第一種思路便不好解，而第二種是更加普遍的思路，適用範圍更廣，所以這種方式也是需要掌握的。
第三小題，我們同樣可以根據幾何關係得到這四點之間的約束（共圓，以OP為直徑），這樣我們能很快算出圓心坐標和半徑從而得到圓的方程，而 C D 是兩個圓的交點，通過兩個圓方程作差，即可得到我們要的直線方程。
我們著重講一下第二種方法，這種方法特別新穎，計算量很小。我們設出 C、D、P 點的坐標，由於圓 O 的圓心在坐標原點，則切線方程可以很容易表示出來，和圓方程長的很像（想一想怎麼來的，歡迎評論區留言），而且這兩個切線方程的形式一致，而 P 點又同時在兩個方程上，我們發現基本無需計算就可以將過 CD 的直線表示出來（這一步也很新穎）。
當然，我們也可以設出 P 點坐標，然後根據圓與過 P 點的直線相切，得到 PC 和 PD 的方程和 C、 D 的坐標，最後得出 CD 的方程，但這樣做起來就比較複雜了，感興趣的可以做一下。
小結
這道題看起來比較簡單，但實際做的時候如果沒找到合適的方法還是有點複雜的，第一小題很常規，相信絕大部分人很自然想到直接設坐標，用距離之比得出 C 的方程。第二小題由於曲線 C 是圓，而不是其他圓錐曲線，在距離的問題上，圓有著許多特殊的性質，有更多方便的方法來解決，所以用幾何的方法往往比代數的方法更加簡單，但是代數的方法更加一般化，對解決圓錐曲線這類問題更加常見，更程序化一點，思路比較固定，聯立方程，消除變量，韋達定理表示，然後解出未知參數。
第三題如果用純代數的方法比較麻煩，所以通過分析得到四點共圓，比較輕易的得到圓的方程，兩個圓方程作差就能得到過 CD 的直線方程（其實這裡和下面一種方法求直線有共通之處）。
第二種方法很新穎，幾乎沒有怎麼計算就把直線方程求出來了，首先 C、 D 兩點處的切線方程表示方法（不懂的同學可以留言討論），在圓錐曲線上也可以效仿，其次，如果兩個點的坐標滿足同一個形式，則過這兩點的直線上所有的點都滿足這個形式，即直線方程就可以這麼表示。