中點公式秒壓軸題？（2020年江蘇無錫第28題）
在學習平面直角坐標系時，我們是這樣描述中點公式的，兩端點橫，縱坐標和的一半即為中點橫，縱坐標。學生也好記憶，通常他們也會用「兩頭一加除以2」來記，也行。後來學習平行四邊形時，偶爾會在坐標系中遇到它，利用中點公式，知道三個頂點，可求第四個，比起求解析式再求交點的方法，無疑要快捷許多。
題目
在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線OA交二次函數y=1/4x的圖象於點A，∠AOB=90°，點B在該二次函數的圖象上，設過點(0,m)(其中m>0)且平行於x軸的直線交直線OA於點M，交直線OB於點N，以線段OM，ON為鄰邊作矩形OMPN.
(1)若點A的橫坐標為8
①用含m的代數式表示M的坐標；
②點P能否落在該二次函數的圖象上？若能，求出m的值；若不能，請說明理由；
(2)當m=2時，若點P恰好落在該二次函數的圖象上，請直接寫出此時滿足條件的所有直線OA的函數表達式.
解析：
(1)點A坐標為(8,16)，求出OA解析式為y=2x，由OA⊥OB，求出OB解析式為y=-x/2，將y=m分別代入OA，OB解析式中，得到點M(m/2,m)，N(-2m,m)；
設MN中點為G，則G(-3m/4,m)，而它恰好也是OP的中點，於是得到P(-3m/2,2m)，代入拋物線y=1/4x，解出m=32/9；
(2)當m=2時，不妨設A(t,t/4)，和前面方法類似，先得到OA解析式為y=tx/4，OB解析式為y=-4x/t，表示出M(8/t,2)，N(-t/2,2)；
仍然設MN中點為G，則G(4/t-t/4,2)，它同樣是OP中點，於是得到P(8/t-t/2，4)，代入y=1/4x，推導如下：
對應的圖象如下：
解題反思
這道題之所以能夠用中點公式給「秒」了，其實是源於對矩形對角線互相平分的幾何性質，交點即同時為兩條對角線的中點，而恰好其中還有一個頂點是原點，只需要表示出另兩個，則最後一個頂點P的坐標可得。
在學習一次函數時，我們就知道，兩個一次函數圖象互相垂直，則它們的一次項係數互為負倒數，這也是能迅速解出本題的技巧之一，畢竟矩形兩條邊恰巧也是正比例函數，更好求一些。
關於第2問最後是否需要分類討論點A位置，我的個人意見是不需要，因為在設置點A坐標時，使用的是字母，而字母本身就能代表任何數，而且在坐標計算的過程中，對於字母本身的符號並不敏感，只有在計算線段長度的時候，才會有意識地區分一下符號，畢竟長度只能用正數表示，而使用中點公式，而完全沒有顧忌，而圖，似乎也沒有必要畫出來了。
原題的配圖其實沒什麼用處，標準作圖的話，點的位置遠超過圖象本身的範圍，勉強畫出來，不準確也不利於觀察，倒不如直接用解析法，一了百了。
當然，也不是說解析法就不需要函數圖象，而是，這個圖象在腦子裡，想像出來的函數圖象，比起紙上的甚至電腦屏幕上的，更好使。