圖解普林斯頓微積分(重製) 06:三角函數的極限和導數

2021-02-08 遇見數學

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本章主要內容:
● 三角函數在小數、大數以及其他變量值時的行為;
● 三角函數的導數;
● 簡諧運動.

▌7.1 三角函數的極限
考慮下面兩個極限, 唯一區別是, 左邊極限考察的是在  趨於  , 而右邊在  趨於無窮大取的極限. 也就是需要留意是在很小很小數, 還是很大很大的數上取得極限.




▌7.1.1 小數的情況
事實表明,  和  在  附近近似相等, 觀察下面  在  和  直接的圖形, 當  非常非常小的時候,  近似等於  , 那麼  成立.

▌7.1.3 大數的情況



▌7.1.4 "其他的"情況
如果計算  趨於  的極限, 這裡  , 這裡有一個解決的方法, 就是用  做替換, 將問題轉化為  趨近於  , 比如下面的例子:


▌7.1.5 一個重要極限的證明



▌7.2 三角函數的導數
現在把所有三角函數以及反三角函數做個總結(公式自: 中文維基百科).






▌7.2.2 簡諧運動(Simple harmonic motion)
三角函數經常會用來描述彈簧的震蕩運動. 設  是彈簧振子在時刻  的位置, 取向上的方向作為正方向, 那麼描述  的方程大致類似於 . 類似也可以用餘弦來代替, 因為兩者總是來回震蕩, 而這類運動就被稱為簡諧運動.

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