【笛卡爾坐標/點積/叉積】圖解高等數學-下 03

2021-03-01 遇見數學
10 空間中的向量和運動

當一個物體在空間中運動時, 其坐標方程 x=f(t), y=g(t), z=h(t) 提供了物體運動和路徑的方程, 坐標為時間的函數. 如果採用向量記號, 可以把這些方程縮寫為一個方程作為關於時間的向量函數的物體位置.

10.1 空間中的笛卡爾(直角)坐標和向量

為給空間的點定位, 需要由三條相互垂直的軸. 如下圖所示軸組成右手坐標系

空間的點 P 的笛卡爾坐標 (x,y,z) 可用其位置向量表示. 如下圖所示. 笛卡爾坐標也是直角坐標, 因為定義這種坐標的軸以直角相交.


空間中的向量

長度和方向與平面的情形一樣, 若 v !=0 是空間中的非零向量, 則 v/|v| 是一個在 v 方向的單位向量. v 可以表示成它的長度和方向的乘積.

距離和空間中的球

半徑為 a 中心為 (x0,y0,z0) 的標準球面方程:

10.2 點積和叉積

將之前研究的點積定義推廣到空間. 然後對空間中的向量引入一個新的積, 稱為叉積.

點積

空間中兩個向量的點積(或內積, 數量積)以對平面向量同樣的方式定義. 當把兩個非零向量 u 和 v 的起點放在一起, 就形成一個大小 0<=θ<=π 的角.

垂直(正交)向量和投影

跟平面向量的情形一樣, 兩個非零向量 u 和 v 是垂直或正交的, 若且唯若 u·v=0 .

如果 u 表示一個力, 那麼 projvuprojvu 表示在方向 v 的有效力.


空間中兩個向量的叉積

空間兩個非零向量 u 和 v. 如果 u 和 v 不平行, 那麼就確定了一個平面. 這樣可以用右手法則選擇一個垂直於這個平面的單位向量 n. |u×v| 是平行四邊形的面積.


轉矩(力矩, Torque)

當我們再扳手上用一個力 F 轉動一個螺栓時, 就產生一個轉矩作用在螺栓的軸上以使螺栓前進. 轉矩的大小依賴力作用在扳手多遠的地方和多大的在作用點垂直於扳手的力. 轉矩的大小 τ 是槓桿 r 的臂長和 F 的垂直於 r 的數量分量的乘積


三重積

三重積，又稱混合積，是三個向量相乘的結果。向量空間中，有兩種方法將三個向量相乘，得到三重積，分別稱作標量三重積和向量三重積.

「予人玫瑰, 手留餘香」

轉發既是支持, 我們會努力走得更遠! 

相關焦點

  • 【編程碼拉松】笛卡爾積
    笛卡爾(Decartes) 乘積又叫直積。假設集合A={a,b},集合B={0,1,2}, 則兩個集合的笛卡爾積為{(a, 0), (a,1),(a,2),(b,0), (b,1), (b,2)}。可以擴展到多個集合的情況。類似的例子有，如果A表示某學校學生的集合，B表示該學校所有課程的集合，則A與B的笛卡爾積表示所有可能的選課情況。
  • 笛卡爾積
    多表SQL關聯，相信大家都會寫，但是它背後的原理，你可能並不知道，今天我們來拆解一下多表SQL關聯，如果你已經明白什麼是笛卡爾積，那麼可以略過了
  • Python_笛卡爾積
    畢竟是個問題，所以還是需要解決，找了一下，這個集合有個好聽的名字，叫笛卡爾積。  笛卡爾乘積是指在數學中，兩個集合X和Y的笛卡爾積，表示為X×Y，第一個對象是X的成員而第二個對象是Y的所有可能有序對的其中一個成員 。
  • 線性代數4——向量3(叉積)
    什麼是叉積　　向量的叉積也叫外積、向量積、叉乘或矢量積。
  • 向量叉積:沒有什麼,就覺得他們寫的很好看
    兩個矢量 可以用 "叉積 " 的方法來 "相乘"（也去看看 點積）)兩個矢量的叉積 a × b 是與這兩個矢量垂直的 矢量：1.基本運算叉積是這樣計算的：b 的方向：拇指指著的方向便是叉積的方向。叉積是個 矢量，也稱為 矢量積。還有一個積，叫 點積。點積是個標量 （普通的數），也稱為 標量積。
  • 多元變量微積分-第二講-點積與叉乘
    上一講介紹了向量和點積，點積在幾何上的意義是投影，可以計算向量長度，兩個向量間的角度，檢測向量的正交性。
  • 線性代數的本質課程筆記(中)-點積和叉積
    1、點積視頻地址：https://www.bilibili.com/video/av6299284?from=search&seid=12903800853888635103點積的標準觀點如果我們有兩個維數相同的向量，他們的點積就是對應位置的數相乘，然後再相加：從投影的角度看，要求兩個向量v和w的點積，可以將向量w朝著過原點的向量v所在的直線進行投影
  • 向量的三種積:數量積、向量積、混合積
    另外，單位向量的三個坐標值就是方向餘弦。3.這道題求B的坐標，然後給出一系列關於B的條件，那麼我們就設B的點坐標，然後按照題目給出的條件列式子，最終解出來就可以了。4.把需要證明的東西先表示出來，然後看看它們之間有什麼聯繫，最後按照邏輯做就可以了。5.一般這種題，如果題目沒有給圖，那就自己先把圖畫出來，畫出來後就一目了然了，按照題目做就可以了。
  • Java-笛卡爾積實現變量拆分
    笛卡爾積集定義： 設A和B是兩個集合，存在一個集合，它的元素是用A中元素為第一元素，B中元素為第二元素構成的有序二元數組。稱它為集合A和B的笛卡爾積集，記為A×B。即：A×B={(x,y)|x∈A∧y∈B}例如： 集合A中有1和2兩個元素，為：A={1,2}；集合B中有a,b,c 三個元素，為B={a,b,c}；那麼笛卡爾積運算的結果數量則為6個。
  • 線性代數的本質 P10 點積與對偶性
    1.點積的計算兩個維度相同的向量，求他們的點積就是將相應坐標配對，求出每一對坐標的乘積，然後將結果相加
  • MYSQL8.0 hash join中的笛卡爾積關聯的現象解析
    mysql> select count(*) from t1,t2,t3 where t1_id=t2_id and t2_addr=t3_addr; ++| count(*) |++|      900 |++1 row in set (30.87 sec)這個
  • 向量數量積的運算性質和坐標計算
    1.兩個向量的數量積定義兩個向量的數量積的定義為ab=|a||b|cosθ，其中θ為兩個向量之間的夾角，兩個向量數量積的結果是一個標量(只有大小、沒有方向)。其含義為向量a的長度|a|與向量b在a方向的投影|b|cosθ的乘積。
  • 教學研討|2.4.2 平面向量數量積的坐標表示、模、夾角
    研討素材一一、教學目標1、掌握數量積的坐標表示,會進行平面向量數量積的坐標運算。2、能運用數量積的坐標表示求兩個向量的夾角,會用數量積的坐標判斷兩個平面向量的垂直關係,會用向量的坐標表示向量的模。3、能用所學知識解決有關綜合問題。
  • 教學研討|2.4.2平面向量數量積的坐標表示、模、夾角 ·教案·課件
    前面我們學習了平面向量的數量積,以及平面向量的坐標表示.那麼在有了平面向量的坐標表示以及坐標運算的經驗和引進平面向量的數量積後,就順其自然地要考慮到平面向量的數量積是否也能用坐標表示的問題.另一方面,由於平面向量數量積涉及了向量的模、夾角,因此在實現向量數量積的坐標表示後,向量的模、夾角也都可以與向量的坐標聯繫起來.利用平面向量的坐標表示和坐標運算,結合平面向量與平面向量數量積的關係來推導出平面向量數量積以及向量的模
  • 乾貨二:向量數量積的六大突破點,高考考察的點都在這,重要內容
    下面就六大突破點帶你學好這塊內容。02突破點一：平面向量的數量積運算第一，利用坐標計算數量積。第一步，根據共線、垂直等條件計算出這兩個向量的坐標，求解過程要注意方程思想的應用；第二步，根據數量積的坐標公式進行計算即可。
  • 「極坐標下的二重積分」圖解高等數學-下 18
    12.3 極坐標下的二重積分如何用極坐標來表示二重積分, 從而更加方便的進行計算, 它的計算公式如何推導請看本節內容.用極坐標表示二重積分與直接坐標系下的二重積分一樣, 在極坐標系下也是將整個區域分割成一系列小塊, 請看下面的動畫所示劃分過程, 橙色的小區域不斷地變小:假設如果函數 f(r,θ) 定義在區域 R 上, 其邊界為 θ=α, θ=β, 和曲線 r=g1(θ) 和 r=g2(θ). 觀察下面的動畫, 在區域 R 內小矩形為淺藍色.
  • ,用幾何思維理解矩陣的「逆」和向量的「點積」
    那也就是說，我們可以用一個複合矩陣來代替上式兩個矩陣的積，來表達什麼也沒有做的變換。這個矩陣就是[1,0;0,1]，表示如下：我們把類似矩陣[1,0;0,1]這種，對角線為1，其餘元素為0的矩陣叫做單位矩陣，記作I。因此，上式又可以表示為：單位矩陣的作用其實就是表達了什麼也不做的一種線性變換。點積接下來，我們來看向量的點積。
  • 27、平面向量的數量積與平面向量的應用
    常用結論考點自測平面向量數量積的運算思考求向量數量積的運算有幾種形式?解題心得1.求兩個向量的數量積有三種方法:(1)當已知向量的模和夾角時,利用定義求解,即a·b=|a||b|cos θ(其中θ是向量a與b的夾角).
  • 可能是最簡單易懂的向量叉積點積教程,輕鬆區分向量點積叉積
    兩個矢量 可以用 "叉積 " 的方法來 "相乘"（也去看看 點積）)兩個矢量的叉積 a × b 是與這兩個矢量垂直的 矢量：1.基本運算叉積是這樣計算的：b 的方向：拇指指著的方向便是叉積的方向。叉積是個 矢量，也稱為 矢量積。還有一個積，叫 點積。點積是個標量 （普通的數），也稱為 標量積。
  • 【散度定理】圖解高等數學-下 28
    觀察下面動畫顯示向量場 F 中一些點處的散度值:div F > 0, 顯示紅色數值或紅色球體, 表示流體從源處流出;div F < 0, 顯示綠色數值或綠色球體; 表示流體的流入匯聚;統一化的積分定理我想暫時圖解高數系列到這裡做一個完結, 餘下就是對這兩個系列《圖解普林斯頓微積分讀本》和《圖解高等數學 - 下》做進一步修改和補充的工作.