微分幾何入門與廣義相對論-筆記(一)

2021-02-23 Shara的腦洞
梁燦彬的微分幾何入門與廣義相對論視頻，是一套可以坐在家裡自學的優良教材，前五章講述微分幾何入門知識，包含流形、張量、微分形式及其積分等內容

第一集

筆記

第一章 拓撲空間簡介

一、集論初步 

確切地指定了的若干事物的全體叫一個集合(set),簡稱集.集中的每一事物叫一個元素(element)或點(point).若x是集X的元素,則說「x 屬於X」,並記作x∈X.符號∉則代表「不屬於」．

定義1：若集A的每一元素都屬於集X,就說A是X的子集(subset),也說A含於(is contained in)X或X含(contains)A,記作A⊂X或X⊃A.規定∅是任一集合的子集.A稱為X的真子集(proper subset),若A⊂X且A≠X.集X和Y稱為相等的(記作X=Y ),若X⊂Y且Y⊂X

定義 2 ：集A、B的併集、交集、差集和補集

交換律: AUB=BUA,A∩B=B∩A

結合律: (AUB)UC=AU(BUC),(A∩B)∩C=A∩(B∩C)

分配律: (A∩B)UC=(AUC)∩(BUC),(AUB)∩C=(A∩C)U(B∩C)

DeMorga 律:  A−(B∪C)=(A-B)∩(A-C),A−(B∩C)=(A-B)U(A-C)

定義3：卡氏積: 非空集合X,Y的卡氏積(Cartesian product)  

定義4：距離: 中任意兩個元素 

定義5：映射:設X,Y 為非空集合.一個從X到Y的映射(map)(記作f := X->Y)是一個法則,它給X的每一元素指定Y的唯一的對應元素.若y∈Y是x∈X的對應元素,就寫y=f(x),並稱y為x在映射f下的像(image),稱x為y的原像(或逆像,即inverse image).X稱為映射f的定義域(domain),X的全體元素在映射f下的像的集合(記作f[X])稱為映射f:=X→Y的值域(range).映射f:=X→Y和 f′:=X→Y稱為相等的,若f(x)=f'(x)∀x∈X．

相關焦點

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  • 廣義相對論到底在講什麼?
    廣義相對論是研究物質引力相互作用的理論，其最本核心的內容就是引力場方程：引力場方程別看這個引力場方程形式上十分簡單，但其卻是一個二階偏微分方程，表達的意思卻十分複雜，每一個字母都代表了極其複雜的含義。想要解這個方程，可謂難中之難。
  • 關於廣義相對論的數學理論
    本文的目的是介紹廣義相對論的數學背景以及關於數學家們對黑洞形成機制研究的歷史。是年七月，他應希爾伯特的邀請去哥廷根大學作了一系列毫無保留的演講。恰如這個眾所周知的調侃之言，「哥廷根馬路上一個孩子，都可以比愛因斯坦更懂得四維幾何」，希爾伯特由於比哥廷根馬路上一個孩子懂得更多的四維幾何，很快地得到了引力場方程的表達式，當然這絲毫不影響愛因斯坦的偉大，因為希爾伯特本人都說過，「發現相對論的，是作為物理學家的愛因斯坦，而不是數學家」。
  • 愛因斯坦與廣義相對論
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  • 為何自由落體符合廣義相對論
    圖解：在600千米的距離上觀看十倍太陽質量的黑洞（模擬圖），背景為銀河系廣義相對論（GR），也稱為廣義相對論（GTR），是阿爾伯特·愛因斯坦（Albert Einstein）於1915年發表的引力幾何理論，也是現代物理學中對引力的最新描述。
  • 如何自學廣義相對論,這裡有一份秘籍
    著名的物理學家約翰·惠勒是這樣總結廣義相對論的：「物質告訴時空如何彎曲，時空告訴物質如何運動。」前半句概括了愛因斯坦場方程，而後半句則概括了運動方程。它還有個獨特之處，利用場方程能推導出運動方程，這在其它場都是沒有的。這句話也是普通大眾對廣義相對論的理解：物質會導致時空彎曲。事實上，我們的學習欲望不止於此，我們還想學會如何進行廣義相對論計算。
  • 廣義相對論一直認為引力不是力,為啥我們教科書還要談引力
    眾所周知愛因斯坦提出了一個理論叫：廣義相對論，這個理論最大的反常規觀點就是：引力不是一種力，這個觀點非常挑戰人類的直覺，所以到現在為止都有很多網友無法贊同這種觀點，但是引力為啥不是力，愛因斯坦是如何做出這一個論斷的，為啥我們的教科書還要談引力，今天我們就來談談這個問題。
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  • 廣義相對論(1)
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    在廣義相對論中，我們將下落中的物體視為無外力作用的物體（當然我忽略了空氣阻力之類的東西）但卻沿著時空中「最直」路徑移動。在正常空間中，最直路徑即是兩點之間最短的路徑，在平面上它其實是一條直線，在球面上則是一個大圓，例如赤道。
  • 偏微分方程 學習筆記
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  • 每日一練|基礎知識:科技熱點「廣義相對論」
    此照片再次驗證了愛因斯坦的廣義相對論在極端條件下仍具有正確性。人們驚呼，「愛因斯坦又對了!」。公職類考試的科技類題目偏向於結合科技時政熱點進行考核，本次黑洞照片的公布再次證明了愛因斯坦廣義相對論的正確性，可能成為近期考試的一個熱點，現對廣義相對論關常識性知識作相關總結：發展過程：1905年，愛因斯坦針對光線在狹義相對論中，重力和加速度對其影響發表了一篇論文，廣義相對論開始萌芽。
  • 從快遞到黑洞：廣義相對論給我們的饋贈
    當然廣義相對論不僅可以幫助快遞小哥精準地找到我們，還帶給我們另一項重要饋贈：今年諾貝爾物理學獎中涉及的黑洞理論。早在廣義相對論誕生100多年前的法國，數學家拉普拉斯就基於光的微粒說和牛頓的萬有引力理論提出存在一種暗星（類似今天所說的黑洞），這種暗星具有極大的質量和密度，因此能夠吸引自身發出的光。
  • 一個曾經被認為是數學中最無用的分支,如何成就了廣義相對論?
    在許多個不同版本的愛因斯坦傳記中，都認為廣義相對論是愛因斯坦在1915年提出的，這個理論似乎在提出時就是完全成熟的狀態，給人的感覺很是神奇，好像愛因斯坦沒有犯任何錯誤就發現了這一偉大的理論。過去幾十年來，一些專門研究愛因斯坦極其科學成就的研究者發現，在1912年至1915年之間，愛因斯坦有過很多次失誤，創建廣義相對論步履維艱，曾經一度也遇到難以突破的瓶頸，尤其是在尋找合適的數學工具用以描述時空的彎曲這方面。當愛因斯坦設想時空的彎曲就如同可以伸展和彎曲的布匹相類似，他發現自己必須要學習和了解與曲面相關的數學知識。
  • 物體落地，非因「重力」，廣義相對論另有解釋？
    在這裡起決定性作用的是，只有一個，也就是在廣義相對論中，兩事件之間最直接的連接是粒子穿梭所花費時間最長的連接。為什麼時間要儘可能長呢？原因有二：根據狹義相對論，球運動地越快其時間流逝地越慢。在正常速度下這個影響很小，不過也會導致一個以5米每秒的恆定速度運動的球，時間流逝會慢約0.14飛秒，飛秒是千萬億分之一秒——影響極小！
  • 這很物理:時間的形狀、廣義相對論中的時間測量
    本文將以比較嚴謹地方式為您講述廣義相對論中間的測量問題，接下來的講述比較燒腦，不喜的小夥伴可以繞行。一、時間的形狀？很多物理問題都能歸結為幾何問題，比如牛頓萬有引力，其實是通過行星運動的軌跡與地面物體圓周運動軌跡比較分析得到的。