數學理論:在意想不到的地方與實際相遇

常聽人說數學浮於實際——本來嘛，理論不同於實踐，需經由依託才能應用於生活。數學研究往往先於時代，社會還沒發展出合適的落腳地，很多數學理論生來就成了「遺腹子」，少人疼愛。好在她天然的嚴謹和邏輯，許多數學定理歷經千年依然如是。然後，就在我們最最意想不到的地方與後面趕上來的生產力不期而遇，交匯處生出燦爛的數學之花。

下文選自英國皇家數學史學會會員 Peter Rowlett 編撰的 The Unplanned Impact of Mathematics 一文，我們編譯了3個理論與實際相遇的故事。原文2011年7月14日在《自然》上發表。

四元數：150年後在計算機時代盛開

1843年10月16日，愛爾蘭數學家漢密爾頓爵士（William Hamilton）在散步時，突然想到了ｉ²＝ｊ²＝ｋ²＝ｉｊｋ＝－1　的方程解，並且創造了形如 a＋bｉ＋cｊ＋dｋ 的四元數（a為標量，［bｉ + cｊ + dｋ］為矢量）。為了捕捉這一思想火花，漢密爾頓爵士顧不得保護文物，將方程刻在了正好經過的布魯穆橋上。

這條方程放棄了交換律，是當時一個極端的想法（那時還未發展出矢量和矩陣）。四元數是複數的不可交換延伸。如把四元數的集合考慮成多維實數空間的話，四元數就代表著一個四維空間。漢密爾頓爵士本來正在研究如何把複數應用於三維空間，但橋上的靈光一現，直接把研究擴展到了四維上去。

漢密爾頓於1843年刻在布魯穆橋上的方程。（來源：維基百科）

四元數有著漂亮的數學形式，還適用於地理學、力學和光學的研究。之後的時間裡，漢密爾頓爵士把大部分精力都用於推廣四元數的概念。他死後，接力棒傳到了愛丁堡大學自然哲學教授皮特·格恩裡·泰特手中。

著名物理學家威廉·湯姆遜（也稱「開爾文男爵」，熱力學溫標單位開爾文便以他的名字命名）曾說：我和泰特為四元數爭了38年。兩人合著《自然哲學論》（ Treatise on Natural Philosophy ）時，曾決定在必要時引入四元數的概念，但從最終手稿來看，「必要的時候」一直不曾出現。

19世紀末，向量微積分的出現更是搶走了四元數的光芒。在20世紀中葉的科學和工程界中，矢量幾乎已完全取代四元數的位置。麥克斯韋曾在他的《電磁場動力理論》直接以20條有20個變量的微分方程組來解釋電力、磁力和電磁場之間的關係。

某些早期的麥克斯韋方程組使用了四元數來表述，但與後來黑維塞使用4條以矢量為基礎的麥克斯韋方程組表述相比較，使用四元數的表述並沒有流行起來。人們認為四元數空有漂亮的數學結構，沒有什麼實際用途，不過是數學史上又一個無足輕重的腳註罷了。

到了計算機時代，四元數終於找到了自己的位置。在三維幾何旋轉的計算中比矩陣更有優勢，在機器人技術、計算機視覺和圖像編程領域都是極為重要的工具。

150年之後，漢密爾頓爵士他們的研究終於得到了世人認可。自己種下的理論滋養了全球數以千億計的計算機產業，爵爺若地下有知，也應該感到欣慰了。

最密堆積：3個世紀後在信道中相遇

假如在你面前放著一堆橙子，怎麼擺放才能最節約空間？

別以為這只是困擾水果店老闆的日常煩惱之一。雖然任何人都可以憑經驗或直覺斷定，把上一層橙子交錯著放到下一層橙子彼此相鄰的凹處，顯然要比直接一個疊一個的擺放更合理。但誰能從數學上證明，的確不存在比這更合理的方法呢？

1611年，克卜勒提出，水果商堆橙子的辦法對空間的利用率最高，可他自己卻沒法給出證明。在400多年的時間裡，「克卜勒猜想」（Kepler's Conjecture）難倒了眾多數學家。直到1940年，匈牙利數學家拉茲洛·費耶·託斯才解決了克卜勒猜想的簡化版——圓環堆積問題。

1998年，一則數學新聞突然成了各大媒體報導的焦點：美國匹茲堡大學的託馬斯·海爾斯（Thomas C. Hales）證明了「克卜勒猜想」：在箱子裡堆放大小一樣的球，用「面心立方體」的堆積方式（即上層圓球安放在下一層圓球中間的各個凹處）可以使空間利用率最高。也就是說，水果商在箱子裡裝橙子的辦法一直都是最有效的。

海爾斯解答了這個提出了400餘年的難題，但水果商並不買帳。一位水果攤小販在接受電視臺採訪時說：「這簡直是浪費時間又浪費我們納稅人的錢！」

不過，克卜勒和海爾斯的智慧結晶當然不僅僅是用來裝橙子這麼簡單——有關最密堆積的研究成果是現代通訊技術的重要工具，是信道編碼和糾錯編碼研究的核心內容。

同樣也是在17世紀，牛頓和大衛·格裡高裡因「牛頓數問題」爭來爭去。牛頓數，「Kissing Number」，是與一個ｎ維球外切的等維球的個數。很容易看出，二維的牛頓數是6（上圖左）。牛頓確信三維的牛頓數是12，直到1953年，科特·舒特和範·德·維爾登才給出了一個證明。

二維（左）與三維牛頓數示意圖。二維牛頓數是6，三維牛頓數是12。（paulbourke.net）

2003年，奧萊格·穆辛證明了4維的牛頓數是24。至於5維的牛頓數，目前只知道它在40到44之間。不過，我們知道8維的牛頓數是240，24維的牛頓數是196560，這兩個數都是美國明尼蘇達大學的安德魯·奧德裡茲克在1979年證明的。8維和24維的牛頓數證明起來其實比三維的牛頓數簡單，它們還跟超密集的球體填充問題有關：8維E8點陣和24維Leech點陣。

這些發現令人驚奇，不過讓普通人一頭霧水的概念有什麼實際意義？接下來聽我說。

20世紀60年代，一位叫戈登·朗的工程師正在設計數據機系統。他需要從一個繁忙的頻道（例如一個電話線）發出一個信號，信號由一系列的音調組成。但是，由於一個頻道傳遞的信號過多，經常出現信號無法被完整接收的情況。朗將組成信號的聲音用一串數字表示，信號即可被當作一個個包含信息的「小球」，為了使發送的信息量達到最大化，這些「小球」必須被儘可能緊密的排列起來。

20世紀70年代晚期，朗發明了採用E8堆積法傳遞8維信號的數據機。由於這項技術可以通過電話線進行信號傳播，不必重新設計信號電纜，因此大大加快了網際網路的發展。

概率論：從賭桌上的硬道理到保險業的發展

文藝復興時期，義大利出現了一位大學者，卡爾達諾（Girilamo Cardano），他精通數學、物理、佔星，在當時被稱作百科全書式的學者。卡爾達諾嗜賭，但賭術卻並不高明，在賭桌上輸掉了大把的家產。不過，他由此寫下《論賭博遊戲》一書。此書於1663年出版，被認為是第一部概率論專著，開創了現代概率論研究的先河，也為今天的精算學做了鋪墊。

一個世紀之後，法國賭徒梅內（Chevalier de Méré）遇到了難題。他常玩的兩個遊戲，一個是連續擲4次色子，看能否扔出一個6；一個是擲兩個色子，連續24次，看能否扔出2個色子都是6的情況。梅內以為兩者贏錢的概率相等，不過實際情況卻與他想的不一樣。玩第一個遊戲他贏多輸少，第二個遊戲卻是輸多贏少。

梅內向朋友，數學家帕斯卡求助，帕斯卡隨後在1654年和費馬在信件往來中探討了這個問題，為概率論的發展打下了基礎。1657年，荷蘭人惠更斯發表了《論賭博中的計算》，這也是第一部公開發表的概率論著作。

17世紀晚期，雅各布·伯努利發現，隨機擲一次色子，每個數字出現的概率都是1/6，但連續擲6次色子並不能確保每個數字都出現。在卡爾達諾研究的基礎上，他提出了伯努利實驗。ｎ重伯努利試驗（也稱伯努利概型）常用來討論ｎ次重複試驗中某事件發生的次數及其概率。由於樣本點不一定是等概率的，許多實際問題都可歸結為這種模型。

更重要的是，伯努利還提出了大數定律，指在一個隨機事件中，隨著試驗次數的增加，事件發生的頻率越趨近於一個穩定值。這個定律甚至促進了保險業的發展。

過去，保險公司只敢賣出有限的保單，因為賣出的保單越多，賠付的風險看上去就越高，保險公司擔心賣出過多的保單會使公司不堪重負而垮掉。直到18世紀初，保險公司才開始像現在一樣大肆推銷保險。這都多虧伯努利的大數定理證明：保單賣得越多，賠付的概率就越趨於穩定，風險是可控的。

了解更多

由於篇幅，理論與實際相遇的故事就先說到這裡。有興趣了解更多的讀者，可以去看看 chengmine 的日誌： 不可預知的數學應用 在那裡，還有更多美妙的相遇~

預測一項科學研究的影響是極為困難的。不過，2010年英國工程與物理科學研究會公布的一項報告指出，即使是理論性最強的數學研究，也可能在幾十年後產生意想不到的作用。如果現在不做理論，將來可能無實際可言。數學家盡可鑽研理論，然後等其他領域的天才把數學應用於實際。