一、一元二次方程特殊根的定理及運用
（一）定理：
1、定理一：如果一元二次方程aX＾2+bX十c=O（a≠O）有兩個實數根X1、X2，且a十b十c=O，那麼，X1=1,X2=c/a
2、應用：
例一、已知一元二次方程2X＾2+3X一5=O，求方程的兩個根。
解：∵a十b十c=2十3+（一5）=O，
∴XI=1,X2=c/a=一5/2
例二、解方程（a一b）X＾2+（b一c）X十（c一a）=0，（a，b，c兩兩不相等）
解：∵（a一b）十（b一c）十（『一a）=O
∴X1=1,X2=（c一a）/『a一b）
3,逆定理：如果一元二次方程aX＾2+bX十c=O（a≠O）的根為X1=1,X2=c/a，那麼a十b十c=O；
4、應用：
例三、已知一元二次方程mX＾2一nX+m=0,（m≠0）的一個根是1,求m，n之間的關係式。
解：∵方程的一根為X=1,
∴m十（一n）十m=O
∴2m一n=O，∴n=2m
（二）定理
1、定理二：如果一元二次方程aX＾2+bX十c=0（a≠O），有=個實數根X1、X2，且a一b十c=O，那麼，X1=一1，X2=一c/a；
2、應用：
例一、已知一元二次方程3X＾2十5X十2=O，求方程的實數根。
解：∵a一b十c=3一5十2=O，
∴X|=一1，X2=一2/3
例二、已知一元二次方程mX＾2十（n十2m）X+
（m十n）=O（m≠O），有兩個不相等的實數根一I和一3,
求n/m的值。
解：∵a一b十c=m一（n十2m）十m十n=O
∴原方程有XI=一1，X2=一c/a，
∴一c/a=一（m十n）/m=一3
∴（m十n）/m=3，∴1+n/m=3,∴n/m=2
3、逆定理：如果一元二次方程aX＾2十bX十c=0（a≠0）有兩個實數根X1=一1,X2=一c/a，那麼a一b十c=0
4、應用
例三、已知一元二次方程（m一n）X＾2一nX十m=O（m≠n）有一根為一1,求m的值
解：∵方程有一根為一1,∴a一b+c=O，
即：（m一n）一（一n）十m=O
∴m一n十n+m=O，∴2m=O，∴m=O.
二、一元二次方程兩根差的絕對值的應用
一、命題：如果X1,X2是一元二次方程aX＾2十bX十c=O（a≠0）的兩個根，那麼其兩根差的絕對值為：
丨X2一X1丨=√（b2一4ac）÷Ia|
證明：由求根公式可知一元二次方程aX2十bX十c=0（a≠O）的兩根為XI=（一b一√b2一4ac）÷2a，
X2=（一b十√b2一4ac）÷2a，
∴|X2一X1|=|（一b十√b2一4ac）÷2a一（一b一√b2一4ac）÷2a|
=|2（√b2一4ac）÷2aI
=（√b2一4ac）÷IaI
二、應用舉例
例一：已知一元二次方程X2十5X十6=O，的二根為XI，X2，求：X2一XI的值
解：I|X2一X1|=（√b2一4ac）÷IaI
=（√5×5一4X1×6）÷丨1|=1,
∴X2一X|=±1
例二、已知方程2X＾2一X一K=0的兩根之差的絕對值等於5/2，求常數K的值。
解：∵丨X2一X1|=（√b2一4ac）÷|a|
=（√1+8K）÷I2I=5/2
∴1+8K=25，∴K=3
三、兩個一元二次方程只有一個公共根
1、設公共根為a，則a同時滿足這兩個一元二次方程；
2、用加減法消去=次項X2，求出公共根或公共根有關的表達式；
3、把公共根代入原方程中的任何一個方程，就可以求出原方程中字母係數的值或字母係數之間的關糸式。
四、兩個一元二次方程只有一個根互為相反數
一元二次方程aX＾2十bX十c=O（a≠0）與aX＾2一bX十c=O（a≠O）有兩個根互為相反數，因此，要一個一元二次方程的根改變符號，只需把這個方程的一次項係數改變符號即可。
五、兩個一元二次方程只有一個根互為倒數或互為負倒數
一元二次方程aX＾2十bX十c=0（a≠0）和cX＾2十bX十a=O（a≠0，c≠O）的兩根分別互為倒數，因此，要使一個一元二次方程的根變為原來各根的倒數，只需將這個一元二次方程的二次項係數與常數項互換即可。