神奇的海倫公式

  本篇篇幅較長，堅持看到底的話有彩蛋。

       

       最近拜讀了目前在UCLA任教的數學大神陶哲軒15歲時所著的一本神書《聰明教你解數學》。呵呵，第一題就把小編給難住了。各位朋友們也來看一下吧。

  

題目：已知一個三角形的三條邊長構成等差為d的等差數列，三角形面積為d。請求出這個三角形的邊長和各角度。

       

       大神果然是大神啊！！！小編瞎搗鼓了一個星期也沒搗鼓出來。呃.

       小編先想了一下自己知道的三角形面積的公式.很顯然基本公式完全不行啊，哪來的高呵. 三角函數求解也得知道一個角啊。

       很顯然，我們還需要一個特別強大的公式。小編在仔細拜讀了陶大神的講解以後得知了這個神奇的公式，後來又在刷其他的題目時又屢屢遇見了它，體會到了它的威力。真心膜拜啊.

        那麼，現在讓我們來看一看這個神奇又強大的公式吧！

海倫公式

首先，讓我們請出這個公式閃亮登場！！

其中A就是三角形的面積，而a,b,c就是三角形三條邊的長度。

那麼，為什麼它那麼神奇且強大？

        你的第一印象一定是它極其的簡潔，有沒有感覺到一種美.

         

        可是你再想，公式裡唯一用到的未知數就只有三角形的三條邊長。這，難道是真的？ 光靠三角形的三條邊的長度就能神奇的求出面積？？？

        嚴謹的數學推論告訴你這是真的，現在讓我們看看古代的數學家們是如何化繁為簡，透過現象看本質，一步步的推導出這個公式的吧！

海倫公式的推導

 

        下面介紹的是小編自己琢磨出來的推導過程，小編認為這應該也就是海倫他老人家當年使用的方法。其實後來上網一查，小編發現海倫公式的推導有很多種方法，有興趣的朋友們可以自己嘗試一下。（P.S 微信輸入數學符號打殘手，所以奉上小編的「墨寶」）

海倫公式之我見

       說實話，當小編推導完之後覺得之前自己有些把它神化了。其實這個公式也是先用了勾股定理先來求高，再帶入基本公式，最後把公式來化簡一下就完事了。

       其實，當我們了解了面積的本質後，就會覺得簡單了些。面積其實就是一塊圖形在二維平面中所佔的量化數值。各位朋友們還記得我們在學校裡學的，三角形的面積公式其實是由平行四邊形的面積公式推導來的。事實上，面積是我們附加於幾何圖形的一個定義，於是三角形的面積公式也成了一個定義。一旦是定義，我們就不用去想什麼新的方法來替代這個定義，無非可以做些改進的就是把這個定義去化簡。

      所以三角形的面積公式其實本質上只有S=1/2ah一個。

      現在當我們理清了三角形面積的本質之後。細心地朋友們會發現其實不管是用三角函數去表達還是用我們今天的主題海倫公式去表達其實只不過是在表達方式上做了一些改變罷了。

       但這些改變的用處卻不小，下面讓我們來看一下海倫公式能解決哪些問題。

海倫公式的應用

        其實海倫公式不僅能很方便的只用三條邊來求面積，它還能解決內切圓的半徑問題

     當我們做了點 I 與其他各邊的垂線後，就能發現圓的半徑與面積的關係，朋友們可以自己先去算一下。於是推廣出了內切圓半徑的公式

當然海倫公式還有許多其他應用，有興趣的朋友們可以去了解一下。

彩蛋來啦！！！

       奉上小編去年UCLA探校時所拍的陶大神的辦公室照片。

      美麗的校園

幻想陶大神拿著書本準備去上課

陶大神的辦公室，史上最好吃的閉門羹啊！！！