帕斯卡定理

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神奇的帕斯卡定理

先說一說什麼是六角形（也可以叫六線形），我們平常所說的六邊形一般是凸六邊形，或可能是凹的，但它們的邊不會交叉。今天我要說的六角形，很多是有交叉。

有六個點，比如說叫A、B、C、D、E、F，其中任意三個點都不共線（下圖中把它們畫在了一個圓上，就保證了任意三點不共線）。我們把這六個點任意選取一個順序，比如ABCDEF。那麼，我們就從點A開始，依次連接AB、BC、CD、DE、EF，最後還要連接FA封口。一共連接出六條線段，我們叫它們為六角形的邊（注意，只有這六條邊）。順序一但選好，那麼，這六條邊就是有先後次序的，AB是第一條邊，BC是第二條邊，CD是第三條邊，DE是第四條邊，EF是第五條邊，FA是第六條邊，如下圖左側圖所示。再比如，我們選擇的六點順序是ACDFBE，那麼，就要依次連接AC、CD、DF、FB、BE、EA，如下圖右側圖所示。如果像我們常見的六邊形那樣，我們是知道什麼是對邊的：比如左側那個圖中，AB和DE是一對對邊，BC和EF是第二對對邊，CD和FA第三對對邊。那麼，對一般的六角形，我們也這樣定義什麼是對邊。比如下圖右側圖中的AC的對邊是FB，CD的對邊是BE，而DF的對邊則是EA，雖然看著有些不像。我們只管記住，第一條邊和第四條邊是對邊，第二條邊和第五條邊是對邊，第三條邊和第六條邊是對邊。每個六角形都有三對對邊。一共有多少種不同的六角形呢，您可以算一算。

另外，還要說明一下什麼是相鄰的邊，什麼是相間的邊。有一個公共點的邊就是相鄰的邊，比如上圖左側圖中的BC和CD，上圖右側圖中的DF和FB。而相間的邊是指兩條邊各有一個端點是另外一條邊的兩個端點，比如上圖左側圖中的BC和DE是相間的邊，而右側圖中的AC和DF是相間的邊。六角形中，一條邊有兩條相鄰的邊，也有兩條相間的邊。這些證明要在下面的證明中涉及的。

下面來講帕斯卡定理。

有位於一個圓（其他圓錐曲線都可以，我們只以圓為例加以說明）上的六個點。按上面所說任意連接出一個六角形，為了不使問題複雜化，我們假設三組對邊都能夠相交出一個交點，那麼，這三個交點共線。

這就是帕斯卡定理。看似不可思議吧。我們下面來證明它。證明中要用到梅涅勞斯定理及圓冪定理中的相交弦定理和割線定理（切割線定理不用）。

如上圖所示，我們觀察由AB，CD和EF三條邊所在直線圍成的三角形：UVW（圖中咖啡色）。首先，六角形的邊BC所在直線切割三角形UVW，與它的三條邊（或延長線）交於X，C，B三點。同樣六角形的DE邊所在直線切割三角形UVW，與其交於Y，D，E三點。最後，六角形的FA邊與三角形UVW（延長線）交於Z，A，F三點。我們三次應用梅涅勞斯定理於下：

加上括號進行分組如下：

把上面三式相乘，得

給上式括號中的線段進行分組（以顏色）：

紅、藍、粉三種顏色每一種都是分子兩條、分母兩條，對照著下圖，發現正好可以應用割線定理，有：

所以上上式括號中的六個分數分子分母約分約掉了，得1，所以，最終有：

應用梅涅勞斯定理的逆定理，正好說明X，Y，Z三點共線。證畢

另外，帕斯卡定理還有一個初等證明及一個用反演的方法的證明，以後講了。

相關連結：

《帕斯卡三角形》