撰文 | 張天蓉
本文為 張天蓉《矽火燎原》半導體的人和事 系列科普文章之一，經作者授權轉載，如需二次轉載請聯繫作者獲取授權。
費米能級（Fermi Level）是半導體物理中的重要概念，不可不知。
前面幾節中介紹的能帶圖，描述了晶體中的電子所可能具有的能量值。打個不十分恰當的比喻，能帶圖就好比是在一個蜿蜒連綿的山區中，沿著高高低低、層層重疊的山坡谷底，建造了許許多多的房子。每種晶體有各自獨特的建房方案。所有這些房子都是單間房，因為電子絕不與別人同居。每間房子，電子可能住進去了，也可能還沒住。電子到底住沒住？住進某個房間的機率是多少？一定的條件下，電子是如何分布在這些房間中的？很遺憾，這些從能帶圖上看不出來。那麼，哪一個參數才會告訴我們這些信息呢？這個參數就是費米能級。
所以，費米能級並不高深神秘，只是具有能量量綱的某個數值而已。不過，一個參數就能供給我們這麼多的信息，這個數值也還是挺神的。
費米能級可以告訴我們電子的分布情況，所以應該和統計現象有關。
物理學中有3種不同的統計規律：波爾茲曼統計、波色愛因斯坦統計、和費米狄拉克統計。它們分別適用於三種不同性質的微觀粒子：經典粒子、玻色子、和費米子。相對於經典粒子而言，玻色子和費米子服從量子力學的規律。從統計觀點來看，它們和經典粒子的不同之處是在於它們的不可區分性，或者說，玻色子和費米子是全同粒子。
什麼是全同粒子呢？所謂全同粒子就是質量、電荷、自旋等內在性質完全相同的粒子。以經典力學的觀點，即使兩個粒子的上述性質全同，它們也仍然可以從運動的不同軌道而被區分。但在量子力學中，由於測不準原理，粒子沒有確定的軌道，因而當兩個粒子間距大大小於它們的德布羅意波長時，就無法區分了。至於費米子和玻色子的不同秉性，我們曾經描述過一點點兒：費米子是獨行俠，就像電子那樣，必須每人單獨住一間房，而玻色子呢，則可以群居。
這3種粒子本性的不同，又如何影響它們的統計分配規律呢？讓我們從一個簡單的例子：兩個粒子（A、B）分住三間房子（F1、F2、F3）的情況，來體會這點。
圖10.1
我們最熟悉的是經典粒子，就是等同於兩個『人』住3間房子的情況，可能的方案有圖10中所示的9種。因此，兩個經典粒子入住的方法共有9種。如果這兩個粒子是費米子，則入住的方式只有1、2、3這三種。這是因為費米子遵循泡利不相容原理而排除了方案4、5、6；又因為它們無法被區分而使得7、8、9完全等同於1、2、3。對兩個玻色子來說，它們也不能被區分，但可以同住一間，所以便有1到6六種分配方法。
有的讀者可能會問：「一間房是什麼意思呢？是不是一個能級呢？」其實不是這樣，這也是從能帶圖上看不出來的。更確切地說，一間房是指一個量子態。不同的量子態由不同的量子數來決定。同樣的能量數值，還可以有多個量子態，因為還可以有諸如角動量、自旋等等的不同。
另外，這三種粒子，還有一個共同具有的有趣性質：大家都喜歡住在低處，即能量更小的地方。特別是在溫度接近絕對零度左右時，這些小粒子們的運動幾乎停止了，一個個疲憊不堪，苟延殘喘，只要有可能，便都拼命想往低處靠，好像越低越保險似的。所以，經典粒子和玻色子在接近00T時，全部都擠在那個最底層的大房子裡，就像無家可歸者擠在難民營裡一樣，反正又沒有什麼『泡利不相容原理』來限制它們。
這時，費米子倒顯出一點骨氣，它們仍然堅持自己要獨居的風格，井井有條地一個一個排隊入住到給它們打造的『單間』量子態中。由於它們要遵循泡利不相容原理，所以就不可能所有的電子都住在底層，底層住滿後便第1、2、……地排上去。粗略地說，最後那個電子入住的房間的高度（能量）的數值，便是費米能級。為什麼這兒加上個『粗略地說』呢，這是因為要精確地定義費米能級，是需要用點不怎麼討人喜歡的公式的。
總之，大家現在明白了，費米能級的概念的確很簡單，不就是一個能量數值的標準嗎。從剛才所說的意思，假設任何高度都連續地建有房間的話，那麼，在這個標準之下，房間全被住滿了；而在這個標準之上的房間則全部空著。
以上的理解完全正確。不過，剛才所說的是接近絕對零度時的情況。如果溫度升高一些，情況則略有不同。溫度升高了，電子的動能增加了，它們不像原來那麼老實了，而是在房間裡跳來跳去，也不太屑於那種要『住得低一些』的老觀念，而是四處窺探有無可乘之機！住在比較下面的電子伸頭一看，周圍房間上上下下全都住滿了，太高的地方又跳不上去，所以，只好仍然規規矩矩地在原處待著，集聚更多的內力，等待溫度再升高。而那些靠近費米能級、原來就住得比較高的電子就有所希望啦。它們有的已經蹦到比費米能級還高的地方去了。溫度越高，電子上蹦成功的可能性就越大。
所以，當絕對溫度T不為0的時候，費米能級並不是『住了電子』，還是『沒住電子』的分界線。但是，對這種情況，物理學家費米和狄拉克，各自獨立地導出了一個同樣的公式。看，公式終於出現了，這就是我們現在稱之為費米狄拉克統計分布的公式：
(10.1)
公式（10.1）中的EF就是費米能級，f（E）是佔據能量為E量子態的電子數目。所以說，費米能級雖然只是一個數，但是，知道了這個數，就知道了在某一個溫度下，電子入住各個房間的分配情況。這些房間的高度（E）可以低於費米能級，也可以高於費米能級，只是電子住或不住的機率有所不同而已。這兒的『機率』便與表達式（10.1）有關。
綜上所述，溫度升高時，只有費米能級附近的電子才容易跳來蹦去，參與熱躍遷，或產生電荷的輸運過程。而這也正是固體表現導電或不導電，決定各種物理性質的機制所在。所以，在能帶圖中，我們感興趣的也只是費米能級附近的能帶結構，因為它們決定了電子（或空穴）的輸運性質。
圖10.2：費米能級在不同材料能帶圖中的位置
在上一節中我們描述了第一布裡淵區，它是波矢空間中的一塊區域。在波矢空間中還定義了另一個與費米能級有關的區域，叫做費米面。
又有點迷惑吧？費米能級不是一個數嗎，怎麼又變成一個面了呢？一個數變成一個面其實不難，比如說，給你一個數作為半徑，你立刻可以在三維空間中畫出一個球面來。費米面也是用這樣類似方法畫出來的，只不過不是在真實的三維坐標空間中畫，而是在三維的波矢空間（k空間）裡畫的。換句話說，費米面是在k空間中的一個等能量面，這個面上的點的k值（kx,ky,kz）不同，但對應的能量數值卻是相同的，等於費米能級與最低能量態的差別，或稱『費米能』。
這裡需要提醒讀者注意：我們從費米狄拉克統計規律（10.1），定義了『費米能級（FermiLevel）』，剛才又提到『費米能（Fermi Energy）』。這在某些場合，比如處理費米氣體的情況，是相關但不完全相同的兩個概念。不過在半導體文獻中卻經常被混淆地用作同義詞。因此，我們也不嚴格區分它們，只不過一般只說『費米能級』。
現在，考察一下第7節中討論過的自由電子，也就是忽略晶格離子作用時，能帶為拋物線的那種情況。這時，能量正比於k矢量絕對值的平方，因此，等能量面都是球面，自由電子的費米面沒有例外，當然也是球面。既然自由電子的費米面是球面，也就有了費米球、費米海、費米半徑之類的相應定義。
《矽火燎原》系列
半導體的人和事
電光閃爍的物理世家
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點石成金——半導體的摻雜性
從道爾頓到原子電影
能級和能帶
倒格子空間
布洛赫波和布裡淵區