【作者簡介：洪萬生為臺灣師大數學系退休教授，研究數學史，並為臺灣「 HPM 」發起人，《數理人文》編委；強調數學史在數學教學中之功用。洪更是臺灣數學科普的推手，與學生翻譯多本科普書，廣撰科普書評，目前更推動以文學小說來促進數學之普及化。】
《數學女孩》的數學學習與結構美學
前言
臺灣出版商引進結城浩的《數學女孩》系列，一開始應該是出自數學普及面向的考量，而非我們現在更感興趣的數學小說文類( genre )。現在，就國內所出版數學小說（mathematical fiction，主要是中譯本)的敘事風格來說，《數學女孩》是非常獨特的一個系列，這是因為作者在本系列中，忠誠地分享了他自己的數學學習心得。不過，他除了這種在「小處」斤斤計較、吹毛求疵的「著手」之外，還不斷地高舉他的結構美學大旗，向讀者宣示數學「旅行地圖」的重要意義。
在本文中，我所討論的《數學女孩》系列共有四本，依中譯本發行順序如下：《數學少女》（臺灣：青文出版社，2008. 大陸：人民郵電出版社，2016）、《數學女孩：費馬最後定理》（臺灣：世茂出版公司，2011. 大陸：人民郵電出版社，2016）、《數學女孩：哥德爾不完備定理》（世茂出版公司，2012），以及《數學女孩：隨機演算法》（世茂出版公司，2013）。由網路出版資訊得知，結城浩又出版了《數學女孩：伽羅瓦理論》。不過，由於該書尚未有中譯本，本文姑且不論。在此，我打算依序先簡介前述四書（都各有10章）的內容，最後再綜合評論作者的敘事風格，及其對於我們的（中學）數學知識活動所可以帶來的深刻啟發。
《數學少女》
本書數學主題是分拆數（partition）（第 10 章）。作者利用生成函數（generating function），先找出費氏數列（或斐波那契數列）的一般項，從而說明後者如何成為分拆數（partition）的上界：。所謂分拆數，是指給定正整數，將用小於或等於的正整數分拆的所有可能情形之個數。例如，4=4=3+1=2+2=2+1+1=1+1+1+1，故。正如蘇俊鴻指出：「雖然分拆數的主題在數學上並不讓人驚奇，作者卻能由高中所學得的數學知識出發，將這個主題的相關數學知識一一連貫起來，值得我們為作者的努力鼓掌。」
作者以數列謎題引導本書前三章的討論，而這三章（〈數列與規律〉、〈名為算式的情書〉及〈 的華爾滋〉)與第 5 章〈算術平均數與幾何平均數的關係〉，可說是高中數學的簡要複習。不過，在第2.9節中有關「方程式與恆等式」與算式的「積的形式與和的形式」之單元，作者運用八頁的篇幅，「細緻且透徹地將算式的基本定義，好好提點了一遍」，讓身為數學教師的蘇俊鴻大為感動，他「自問在課堂上的傳授都無法做到」。由此，我們也看出作者念茲在茲的，是對於數學知識本質的解說。同時，他也不吝於分享個人的數學學習的心路歷程，譬如第5.5節〈所謂讀數學〉的內容，就十分貼近高中生的學習經驗。
作者也藉由費氏數列（第4章）與卡塔蘭數（Catalan numbers）（第7章）引進生成函數，以及如何運用生成函數求數列一般項的方法。至於第6章有關微分與差分（連續與離散）的對比，則是討論連續觀點下的數學定義、如何在離散觀點下尋找合適對應的定義。因此，微分 vs. 差分；積分 vs. 和分，這種「悠遊於兩個不同世界的方式」，連結了數列與生成函數兩種不同的數學主題。
此外，本書第8-9章有關黎曼函數的內容，涉及的討論（，第8章），以及泰勒展開式與貝塞爾問題（即）（，第9章）。針對前者，作者特別利用摺積的概念與方法，以及黎曼函數與尤拉（歐拉）積及調和數列的關係:
證明質數有無限多個。針對後者，作者的目的，顯然就是介紹尤拉（歐拉）如何利用邏輯上站不住腳的「類比」方法，發現而這也讓十八世紀的尤拉（歐拉）老師成為本書的偶像。為此，作者還特別處理了代數基本定理及其相關的根與係數關係。而有關此一貝賽爾問題解法的「重新發現」，作者刻意安排最缺乏數學自信的一位女主角蒂蒂完成，在數學學習方面的確頗富深意。
本書主角除了蒂蒂之外，還有第一人稱的「我」（高二男生），他的同學米爾迦是一位數學才女,經常對他「發號施令」。至於蒂蒂（或蒂德拉）則是他的高一學妹，喜歡纏著男主角發問，但是，一直不清楚自己的數學潛力。他們三人之間的對話除了數學的解題探索、經驗分享之外，甚少涉及日常生活點滴，但是，對白中也洋溢著少男少女情懷，讓熟悉日本輕小說敘事的讀者深感親切。除了上述的敘事特色之外，本書還洋溢著數學史的洞識，譬如在第2.10節〈數學公式的背後是誰?〉，作者就指出：「在算式背後都有一段歷史，當我們在讀算式的時候，就像是和無數的數學家格鬥」，因此，「會花時間理解是一定的」，同時，「當我們展開一道算式，就是超越了幾百年的時光；在我們面對算式時,我們都是小小的數學家。」這種運用數學史的縱深來賦予數學知識活動的意義，當然是本書的主要敘事特色。
作者的「縱深」關懷也表現在（譬如）複數平面的引進，在此，他提出高觀點的方法論反思，也非常具有啟發性：「從整數到實數的數線,再從數線到複數平面，不斷地思考更高的次元。於是表現就變得簡單明瞭，可以說越簡單明瞭，就越象徵『理解』吧。」而這，當然也連結到他的結構關懷。
另一方面，這種結構關懷也表現在「跨界」的連結上，譬如作者推許生成函數是操作數列為一個有效方法，其原因就在於利用「生成函數求得斐波那契數列一般項，就像原本捧在手上快要散落的數列，被名為生成函數的一條線串起來」，且最終得以讓相關數學主題成為具有結構的一個有機整體（organic whole）。而這，也很好地解釋了何以作者在本書適當脈絡中數學「旅行地圖」。
《數學女孩：費馬最後定理》
本書數學主題當然是第10章的費馬最後定理。前四章介紹初等數論，作者一再強調代數 / 數論與幾何之連結意義，不過，其內容層次大致止於高中數學課程。第1章主題是時鐘或模數算術，作者利用具體例證，說明由特殊推論到普遍的數學方法論意義。第2章主題是畢氏定理的數論版——畢氏三元數,因為這是為了費馬最後定理的討論，而進行暖身的必要的工作，尤其它們還對應到單位圓上的有理點。作者顯然利用此一連結，說明「原始畢氏三元數組有無窮多個」等價於「單位圓上的有理點有無窮多個」，從而指出「尋求方程式的解」（代數命題）與「用圖形捕捉事物」（幾何命題）之關連。第3章主題是互質，作者當然討論分數運算如通分與約分、最大公因數與最小公倍數以及這兩個概念之關係、質因數分解及其運用指數表現式之幾何表徵，而且再一次指出數論與幾何之連結：「深具內涵的幾何特性，讓我們的表現更為豐富」。第4章主題是反證法或歸謬證法，其例題是有關根號2為無理數之證明。作者在本章提供了兩個證明，並企圖說明這種證法在方法論上之意義。
第5章主題是可以分解的質數，其內涵已經超越一般高中數學範圍了。在本章中，作者除了利用一、二次方程的解來定義新數之外,還為了引進高斯整數（ Gaussian integer），其中a，b為整數， ，而說明複數的幾何表徵及其運算意義，最後，在比較整數與高斯整數異同之後，說明「會粉碎」的質數之意義。第6章主題是交換群（的眼淚）。正如前一章，本章內容也超越一般高中數學範圍，其各節單元有結合律、交換律、單位元、反元素、群與最小群，以及同態等等抽象代數的概念。這些當然都是為了第7章之後的抽象數學之引進,所做的預備工作。第7章主題是呼應第1章的（視髮型為）模數，以及由此引出的群、環、體等抽象代數結構。其中，針對模數p為質數時，由剩餘類環變為體之討論，對於高中學生而言，則是非常抽象的主題。第8章主題是無窮遞減法,其中，作者不憚其煩地說明了費馬如何利用這一方法證明沒有非無聊的（non-trivial）整數解，從而印證了費馬在丟番圖的《數論》（Arithmetica）拉丁版頁邊空白處所寫下的備註，並非無稽之談。有了前述準備，作者在本書最終章（第10章）討論費馬最後定理的「證明」。作者為了讓讀者多少掌握一點有關此一偉大證明輪廓，特別提供了一個證明的概略。基於此，他還進一步介紹橢圓函數，模曲線與自守形式。最後，懷爾斯在橢圓曲線與自守形式之間成功地搭起一座橋梁，而完成了費馬最後定理的證明。至於第9章主題，則是最美麗的數學公式：，它也是小川洋子的著名小說《博士熱愛的算式》的主題。結城浩顯然意在利用這個許多讀者已經熟悉的歐拉算式，來說明冪級數如何在指數函數與三角函數之間，搭起一座溝通的橋梁。當然，所謂的歐拉公式與複數平面之關連。在本章末，作者引述吉田武《虛數的情緒》說明這個算式「是由最有用的兩個常數，即『納氏常數』及『圓周率』這兩種『虛數』居中結盟而成。」【註：納氏常數是指歐拉數e，自然對數的底數，因為它是由納皮爾（Napier）所發明，故有納氏常數之稱。這是清代中國數學家的中譯，後來日本數學家襲用之。】不過，作者顯然也運用本章,再度表達他對歐拉老師的高度崇敬。
本書的主角除了《數學少女》的二女一男外，有多了男主角「我」的表妹由梨。此一國中生角色的安排，讓本書的數學對話顯得更加貼近中學生的數學經驗。
（待續）
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本文摘自《數理人文》雜誌第二期「數學與物理」（International Press of Boston（臺灣），2014年），轉載請註明原文及譯文出處。】