等比序列現值公式

    現金流或預測值呈等比序列排列現象在實踐中也不少見，如穩定環境中國民生產總值、國民收入的增長、物價指數的變化值、耕地中的農作物產量的變化等等。

    等比序列的現金流如下圖。

圖中  等比序列現金流量圖

    在一個時間序列中，若現金流以某百分比j遞增，A1為基礎值，則等比序列的通項公式為

At=A1(1+j)t-1

    式中：t=1，2，3，……，n

    其現值公式為

             1+j

    令公比q=-，根據等比級數的求和公式

             1+i

 

                         1+j                 1+j

                 1-qn    1-(----)n       1-(---)n

                         1+i                 1+i

                  Sn==--=----

            1-q           1+j                 i-j

                       1- ----          

                          1+i                 1+i

    則：

    1+j

   1-（---）n

    1+i

        P=A1[----]   i≠j

    i-j

(1)

    當i=j時

nA1

P=---

1+i

(2)

                                            1+j

                                     1- (----)n

                                            1+i

    i≠j並且i＞j時,等比序列現值係數---，記為(P/A，j，i，n)

                                            i-j

則

P=A(P/A，j，i，n)

    當n很大，趨於無窮，公式（1）變換為

A1

        P=-    i≠j

i-j

(3)

    這便是經濟學中的戈登公式。

    例  某公司有一片出租門面，根據合同第一年租金的純收益為10萬元，今後每年按5%的比率遞增收取租金，門面的壽命期還有15年，若房地產行業的基準收益率為10%，試評估該門面的價格（現值）；若門面是剛建造的，籤定永久租賃合同，壽命期視為年期無限，試評估其價格。

    解：該案例適用於租金現值法評估房屋價格，由於年期有限，並且各年的收益按等比級數遞增，故採用式（1）計算：

                             1+j                      1+50%

                            1-()n          1-（----）15

                             1+i                      1+10%

                      P=A1[---]=10×----

                              i-j                       10%-5%

=10×10.0464=100.46（萬元）

    若門面永久租賃，計算期趨於無限，則採用式（3）計算房屋價格：

A1

                    P=10/(10%-5%)=200(萬元)

i-j