二項式係數的和或各項係數的和的問題

2021-03-01 職高數學

在(2x－3y)10的展開式中，求：

(1)二項式係數的和；

(2)各項係數的和；

(3)奇數項的二項式係數和與偶數項的二項式係數和；

(4)奇數項係數和與偶數項係數和；

(5)x的奇次項係數和與x的偶次項係數和．

【解析】

設(2x－3y)10＝a0x10＋a1x9y＋a2x8y2＋…＋a10y10,(*)

各項係數的和為a0＋a1＋…＋a10，

奇數項係數和為a0＋a2＋…＋a10，

偶數項係數和為a1＋a3＋a5＋…＋a9，

x的奇次項係數和為a1＋a3＋a5＋…＋a9，

x的偶次項係數和為a0＋a2＋a4＋…＋a10.

由於(*)是恆等式，故可用「賦值法」求出相關的係數和．

(1)二項式係數的和為C100＋C101＋…＋C1010＝210.

(2)令x＝y＝1，各項係數和為(2－3)10＝(－1)10＝1.

(3)奇數項的二項式係數和為C100＋C102＋…＋C1010＝29，

偶數項的二項式係數和為C101＋C103＋…＋C109＝29.

(4)令x＝y＝1，得到a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，①

令x＝1，y＝－1(或x＝－1，y＝1)，

得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝510，②

①＋②得2(a0＋a2＋…＋a10)＝1＋510，

∴奇數項係數和為（1＋510）/2；

①－②得2(a1＋a3＋…＋a9)＝1－510，

∴偶數項係數和為（1-510）/2.

(5)x的奇次項係數和為a1＋a3＋a5＋…＋a9＝（1-510）/2；

x的偶次項係數和為a0＋a2＋a4＋…＋a10＝（1＋510）/2.

【思維升華】

(1)「賦值法」普遍適用於恆等式，是一種重要的方法，對形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m (a，b∈R)的式子求其展開式的各項係數之和，常用賦值法，只需令x＝1即可；對形如(ax＋by)n (a，b∈R)的式子求其展開式各項係數之和，只需令x＝y＝1即可．

(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項係數之和為f(1)，奇數項係數之和為

偶數項係數之和為


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