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在所有(歐幾裡德)世界中，只有一對三角形具有以下屬性：
一個三角形是直角，一個是等腰，兩個三角形的邊長都是有理數，且兩個三角形的周長和面積相等。直角三角形的邊長為135、352、377，而等腰三角形的邊長為132、366、366。如果你懷疑，你可以很容易地把邊長加起來，看看它們的周長是一樣的。計算面積比較複雜。計算一個直角三角形的面積很簡單，只要知道它的邊長：它是較短的兩條邊的乘積的一半。對於等腰三角形，你可以使用海倫公式，它只給出三角形的邊長，或者先用勾股定理求出三角形的高度，然後從算出三角形的面積。不管用哪種方法，你都會發現每個三角形的周長是864個單位，面積是23760個平方單位。
一對特殊的三角形我以前從來沒有想過要找兩個周長和面積相同的有理三角形，所以當我發現的時候我不知道該怎麼感覺。這是意外嗎？這樣的三角形只有一對。這篇論文是去年才發表的，它只有五頁長？這是對一個我從未想過的問題的回答，卻給我留下了更多的問題。
證明(135，352，377)和(132，366，366)形成具有所需屬性的唯一一對三角形的證據來自一個叫做代數幾何的數學領域。為了簡化一點，代數幾何就像你的高中代數課一樣——理解平面或高維空間中符號方程和幾何圖形之間的關係。代數幾何的一個中心問題是如何確定一個給定的方程是否有整數或有理數的解，如果有，是多少。(要使一個解決方案算作有理數，所有的變量都必須取有理數。也就是說，如果方程有兩個變量x和y，那麼有解應該是x和y都是有理數，例如，方程x^2 - y^2=5有無窮多個有理解和幾個整數解，但方程x^3 - y^3=5隻有有限多個有理解，沒有整數解。
論文的作者平川吉野介和松浦秀樹指出，找到這樣一對三角形等價於找到一個特定方程的有理解。然後，他們調用一些定理，關於一個具有某些性質的方程可以有多少個有理解，尋找一些潛在的有理解的線索，並發現只有一個實際上給了它們有效的三角形。證明很短，但需要一些高性能的工具。
另一方面，在不要求三角形是直角或等腰的情況下，有無窮多對有相同周長和面積的有理三角形。我還沒有完全解決如何看待它，但我認為這個問題是一個事實的另一個例子，在數學中，有限和無限之間的界限，容易和困難之間的界限，可能是微妙的和令人驚訝的。