凝聚態物理中的拓撲

原標題：凝聚態物理中的拓撲

索利斯

科斯特裡茲

霍爾丹

施鬱

「十一」長假期間，各項2016年諾貝爾科學獎陸續公布。對於公眾來說，這些科學家們的研究離我們的日常生活是如此之遠，難免如墜雲裡霧裡。然而，這些研究無論怎樣晦澀難懂，最終都會影響甚至改變我們的生活。

因此，我們可以不懂，但應該知道。本版特約復旦大學物理學系施鬱教授就今年的諾貝爾物理學獎，向讀者做一些解讀。

因為在拓撲相變和物質拓撲相方面的開創性工作，索利斯、霍爾丹和科斯特裡茲分享2016年諾貝爾物理學獎。

這三位獲獎物理學家都是長期在美國工作的英國人，生於英國，在劍橋大學讀本科。索利斯生於1934年，在美國康奈爾大學獲博士學位，是華盛頓大學退休教授。霍爾丹生於1951年，在劍橋大學獲博士學位，是普林斯頓大學教授。科斯特裡茲生於1942年，在牛津大學獲博士學位，是布朗大學教授。

三位獲獎科學家發現，拓撲在凝聚物質的一些物理特性上起到至關重要的作用。凝聚物質是指大量粒子構成的物質，如固體、流體等等。這些物理特性一般是指在低溫下的性質，因為這時量子力學扮演了重要角色。三位獲獎者的成果後來導致這個研究領域取得極大的進展，從而使得我們可以從微觀粒子的拓撲性質的角度來理解凝聚物質，以及設計新材料、新器件，甚至有可能有助於量子計算機的實現。

什麼是拓撲？什麼是相變？

在介紹三位獲獎科學家的工作之前，讓我們先來了解一下涉及到的基本概念。

拓撲本來是一個數學概念，是指物體在連續變化下保持不變的性質，而連續變化是指拉伸、扭曲以及變形等等，但是不能有撕裂。比如，一個球和一個橢球，甚至一個任意形狀、沒有洞的物體，在拓撲上都是一樣的。一個麵包圈和有一個手柄的茶杯，甚至任何有一個穿透的洞的物體在拓撲上都是一樣的。因此洞的個數是個拓撲性質，是整數。

相變是指由同樣的微觀粒子組成的宏觀體系在不同溫度下表現出截然不同的性質。比如隨著溫度的下降，氣體變成液體，液體變成固體。再比如，隨著溫度的下降，液態氦可以變成超流，也就是說，變成一種沒有粘滯的流體（類似超導）。不同宏觀性質的表現叫做相，比如水的氣相、液相、固相，或者液氦的超流相、正常相。

之所以有相變，是因為存在兩種因素，即能量與混亂程度（稱作熵）的互相競爭。一方面不同的相能量不同，比如簡單來說，液相比氣相能量低，固相又比液相能量低。而另一方面，液相比固相混亂，氣相又比液相混亂。對於液氦來說，超流相比正常相能量低，正常相比超流相混亂。為了穩定，系統既希望能量儘量低，又希望混亂程度儘量高。最後的結果是，存在某個溫度，在這溫度之上，系統處於某個相；在這溫度之下，系統處於另一個相。這就是相變。

二維系統中有拓撲相變

1972年以前，物理學家普遍認為，正常相到超流相的相變只能存在於三維系統中。對於二維系統，當時人們認為在絕對零度以上，不存在相變。也就是說，任何一個非零溫度下，總是正常相贏，因為它在混亂程度上的優勢總能戰勝能量上的逆勢（比超流相高）。因此，人們說，在二維或一維系統中，在任何非零溫度下，熱漲落破壞有序，沒有相變。

1972年，在英國伯明罕大學，數學物理學教授索利斯和博士後科斯特裡茲發現，通過拓撲的途徑，在二維可以發生一種新的相變，即拓撲相變。具體來說，這個拓撲的途徑是通過渦旋。渦旋是指某個區域中繞著一個軸旋轉的液體（或者某個物理特性隨著繞軸的角度而變），這是一個拓撲結構，因為不管怎麼旋轉，轉1圈總歸是360度，與沒有渦旋的情況截然不同。表徵一個渦旋的量是它的纏繞數，即繞軸的圈數。

索利斯和科斯特裡茲發現，在二維系統中，渦旋有兩種形態，一個是旋轉方向相反的渦旋兩兩束縛在一起，另一個是它們沒有互相束縛。這兩種形態有能量與混亂度的競爭，導致在一個非零溫度發生相變。低於這個溫度時，正反渦旋形成束縛對。高於這個溫度時，渦旋可以自由運動。這個相變被稱作拓撲相變或者KT相變。索利斯和科斯特裡茲最初討論的超流薄膜的相變，但是類似的KT相變也存在於其他系統，如超導薄膜、平面磁系統等等。

索利斯和科斯特裡茲是在理論上的發現，後來在超流薄膜、超導薄膜以及其他各種系統得到實驗證實，包括近年來的冷原子，即處於極低溫度的原子氣體。

量子霍爾效應的拓撲理論

1980年，德國物理學家馮克裡青研究了二維電子氣的霍爾效應。即在兩種不同的半導體之間，可以形成一個薄薄的導電層，電子在其中構成一個二維氣體。在電壓下電子形成電流。這時再加上一個垂直的磁場。由於磁場的作用，在垂直於電流的方向，也會形成電壓，稱作霍爾電壓。這個基本現象是霍爾在1879年發現的，稱作霍爾效應，可以用電磁學得到簡單的解釋。

而馮克裡青是將樣品保持在極低溫下，從而觀察量子力學的效應。他發現，電流與霍爾電壓的比值（稱作霍爾電導）總是某個物理常數（電子電荷的平方除以普朗克常數）的整數倍，這被稱為量子霍爾效應。而且這個量子化非常精確，精確度達到10億分之一，所以這個物理常數的倒數（即普朗克常數除以電子電荷的平方，被稱作馮克裡青常數）現在已經被用作電阻的標準單位。而馮克裡青因為量子霍爾效應的發現，獲得了1985年度的諾貝爾物理學獎。

實驗發現，霍爾電導非常穩定。在一定範圍內，改變溫度、半導體中的雜質濃度和磁場時，霍爾電導保持不變。磁場改變到一定程度時，霍爾電導相應的整數變為相鄰整數。

1980年，索利斯轉至美國華盛頓大學工作。在那裡，他與合作者（根據4位作者的姓，被稱作TKNN）提出，量子霍爾電導的量子化起源於拓撲，對應的整數是個拓撲數，這就是數學家陳省身很多年前發現的陳數。後來索利斯還與當時的學生牛謙以及當時在該系高能物理組的吳詠時合作給出了另一種更普遍的推導，適用於有雜質情形。最近，索利斯等人的結果也在冷原子實驗中得以證實，實驗上測量了陳數。

通過索利斯等人的工作，霍爾電導的量子化被歸結於某種參數空間的拓撲數。因此原則上，即使沒有磁場，只要能實現參數空間的陳數，就可以讓電導量子化，即正比於整數。因為這種拓撲性，表現出量子霍爾效應的電子氣被稱作拓撲量子流體。

提出反常量子霍爾效應

由於索利斯等人的奠基工作，1988年，霍爾丹發現，即使沒有磁場，只要有所謂的時間反演對稱破缺，而且有陳數非零的能帶，類似量子霍爾效應的拓撲量子流體也能形成，也會有類似量子霍爾效應的電導量子化。當時霍爾丹是藉助於一種理論模型。最近該模型用雷射形成的晶格上的冷原子直接模擬出來。

霍爾丹研究的沒有磁場的拓撲量子流體的思想，近年來在所謂的拓撲絕緣體中也得以實現。

霍爾丹所提出的沒有磁場的量子霍爾效應，被稱作反常量子霍爾效應，這首先由薛其坤組於2013年用摻入磁性雜質的拓撲絕緣體（從而破環時間反演對稱）驗證。現在人們也發現了三維的拓撲絕緣體。

1982年，霍爾丹也研究了一維磁體的拓撲性質，指出整數與非整數自旋完全不一樣，前者有能隙（所謂的霍爾丹相），而後者沒有。這首先在磁性材料 CsNiCl3中得到驗證。

現在人們認識到，霍爾丹相、整數量子霍爾效應態和拓撲絕緣體都屬於所謂對稱性保護的拓撲態。還有一些拓撲物態不屬於這一類，比如分數量子霍爾效應和自旋液體，裡面還有很多未解之謎。

目前，國際上拓撲物態研究方興未艾。一個領頭人是文小剛（麻省理工學院教授），他在與牛謙合作的一篇文章中首次提出拓撲序的概念。拓撲序後來成為拓撲量子計算的基礎。拓撲物態的研究對於量子計算的實現也是很有意義的。

從前文的介紹中可以看到，在拓撲物態這個凝聚態物理的前沿領域，有不少華人或中國人做出了重要貢獻，另外還有很多華人和中國科學家活躍在這個領域。